Ath.: Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort TÖL101G Tölvunarfræði 1 eða TÖL105G Tölvunarfræði 1a.

Java forritunarmálið er notað til að kynna grunnhugtök í tölvuforritun: Tjáning og fullyrðingar, texta- og tölulegar gagnategundir, aðstæður og lykkjur, fylki, aðferðir, flokkar og hluti, inntak og úttak. Forritun og kembiforrit eru stunduð í spurningakeppnum og verkefnum alla önnina.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort TÖL101G Tölvunarfræði 1 eða TÖL105G Tölvunarfræði 1a.

Forritun í Python (sniðið að verkfræðilegum og raunvísindalegum útreikningum): Helstu skipanir og setningar (útreikningur, stýri-setningar, innlestur og útskrift), skilgreining og inning falla, gagnatög (tölur, fylki, strengir, rökgildi, færslur), aðgerðir og innbyggð föll, vigur- og fylkjareikningur, skráavinnsla, tölfræðileg úrvinnsla, myndvinnsla. Hlutbundin forritun: klasar, hlutir, smiðir og aðferðir. Hugtök tengd hönnun og smíði tölvukerfa: Forritunarumhverfi, vinnubrögð við forritun, gerð falla- og undirforritasafna og tilheyrandi skjölun, villuleit og prófun forrita.

Fjallað verður um tungumál stærðfræðinnar og frumatriði rökfræði og mengjafræði. Umfjöllun um rökfræði og mengjafræði er barnsleg (naive) en nógu nákvæm til að vera grundvöllur undir almenna notkun rökfræði og stærðfræði í stærðfræðinámi. Áhersla er á grunnhugtök eins og magnara, leiðingar, mengi, varpanir, eintæk og átæk. Þjálfun í að setja fram einfaldar sannanir.
Námskeiðið er kennt einu sinni í viku, 3 kennslustundir í senn. Skriflegt lokapróf verður í 12. kennsluviku. Nemendur vinna verkefni á misserinu sem gilda 30% af lokaeinkunn.

Þetta er grunnnámskeið um stærðfræðigreiningu í einni breytistærð. Æskilegur undirbúningur er að nemendur hafi lokið námskeiðum á framhaldsskólastigi sem fjalla um algebru, rúmfræði, hornaföll, diffrun og heildun. Námskeiðið leggur grunn að skilningi á greinum á borð við náttúrufræði, verkfræði, hagfræði og tölvunarfræði. Umfjöllunarefni námskeiðsins eru meðal annars:

• Rauntölur.
• Markgildi og samfelld föll.
• Deildanleg föll, reglur um afleiður, hærri afleiður, hagnýtingar deildareiknings (útgildisverkefni, línuleg nálgun).
• Torræð föll.
• Meðalgildissetning, setningar l'Hôpitals og Taylors.
• Heildun, ákveðin heildi og reiknireglur fyrir þau, stofnföll, óeiginleg heildi.
• Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar.
• Hagnýtingar heildareiknings: Bogalengd, flatarmál, rúmmál, þungamiðjur.
• Venjulegar afleiðujöfnur: fyrsta stigs línulegar diffurjöfnur, annars stigs línulegar diffurjöfnur með fastastuðlum.
• Runur og raðir, samleitnipróf.
• Veldaraðir, Taylor-raðir.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort REI201G  Stærðfræði og reiknifræði eða STÆ107G Línuleg algebra.

Fjallað er um undirstöðuatriði línulegar algebru yfir rauntölurnar.

Viðfangsefni: Línuleg jöfnuhneppi,fylkjareikningur, Gauss-Jordan aðferð.  Vigurrúm og hlutrúm þeirra.  Línulega óháð hlutmengi, grunnar og vídd.  Línulegar varpanir, myndrúm og kjarni.  Depilfargfeldið, lengd og horn.  Rúmmál í margvíðu hnitarúmi og krossfeldi í þrívíðu.  Flatneskjur, stikaframsetning og fólgin framsetning.  Hornrétt ofanvörp og einingaréttir grunnar.  Aðferð Grams og Schmidts.  Ákveður og andhverfur fylkja.  Eigingildi, eiginvigrar og hornalínugerningur.

Yrðingar, umsagnir og rökleiðingar. Mengjareikningur og Boolealgebrur. Þrepun og endurkvæmni. Grunnaðferðir við greiningu reiknirita og talningu. Einföld reiknirit í talnafræði. Vensl, eiginleikar þeirra og framsetning. Tré og net og einföld reiknirit tengd þeim. 

Í námskeiðinu er nemendum kynnt hvernig gera á skipulega mynd af ákvörðunar- og bestunarverkefnum í aðgerðagreiningu.
Að námskeiði loknu eiga nemendur að hafa færni í að setja upp, greina og leysa stærðfræðileg líkön sem standa fyrir raunhæfum verkefnum og hvernig meta eigi lausn þeirra á gagnrýninn hátt. Tekin eru fyrir línuleg bestun og Simplex aðferðin, auk skyld fræðileg efni.
Námskeiðið kynnir auk þess stærðfræðileg líkön fyrir einstök verkefni; flutningsverkefni, úthlutunarverkefni, netverkefni og heiltölubestun. Nemendur kynnast einnig sérhæfðu forritunarmáli við líkangerð fyrir línulega bestun.

Í námskeiðinu verður farið í valin viðfangsefni úr algebru, skólaalgebru og sögu algebrunnar. Fjallað verður um algebrukennslu á mismunandi skólastigum og þróun algebruhugsunar hjá nemendum á ýmsum aldursskeiðum.  

Hluti námskeiðsins er vettvangsnám og undirbúa nemar kennslu þar sem þeir kynna sér og kenna m.a. algebru á vettvangi. Að vettvangsnámi loknu ígrunda þeir kennsluna og vinna úr henni.

Í þessu námskeiði er fléttað saman stærðfræði og kennslufræði stærðfræðinnar. Nemendur kynnast líkindafræði og tölfræði, búa til stærðfræðilíkön og læra að nálgast stærðfræðikennslu út frá líkanasmíð. Meðal þess sem fjallað er um í námskeiðinu eru um umraðanir, samantektir, líkindareikningur sem byggir á talningu atburða, tvíkostadreifing og líkindadreifingar almennt. Fengist er við það hvernig ályktanir eru dregnar um líkindi út frá gögnum og hvernig tölvuhermanir geta nýst í þeim tilgangi. Kynntar eru mismunandi gerðir stærðfræðilíkana, svo sem líkön um línulegt samband, veldisvísisvöxt, öfugt hlutfall, veldisfall, línulega bestun með tveimur breytistærðum og netafræðileg líkön.

Fjallað verður um kennslufræði líkinda- og tölfræði og stærðfræðikennsla almennt skoðuð og greind út frá sjónarhorni líkanagerðar. Nemar fást við að velja og aðlaga verkefni fyrir kennslu líkinda- og tölfræði og að skipuleggja kennsluferli. Lögð er áhersla á stærðfræðikennslu sem snertir á mikilvægum álitamálum í samtímanum, svo sem loftslagsbreytingum og heimsfaröldrum.

Grundvallarhugtök í líkindafræði og tölfræði, stærðfræðileg undirstaða þeirra og beiting með tölfræðihugbúnaðinum R. 

• Líkindi, slembistærðir og væntigildi þeirra
• Mikilvægar líkindadreifingar
• Úrtök, lýsistærðir og úrtaksdreifing lýsistærða
• Metlar og öryggisbil
• Hugmyndafræði tilgátuprófa
• Mikilvæg tilgátupróf
• Línuleg aðhvarfsgreining

Í námskeiðinu er fengist við stærðfræðigreiningu falla af mörgum breytistærðum. Helstu hugtök sem koma vip sögu eru:

Opin mengi og lokuð. Varpanir, markgildi og samfelldni. Deildanlegar varpanir, hlutafleiður og keðjuregla. Jacobi-fylki. Stiglar og stefnuafleiður. Blandaðar hlutafleiður. Ferlar. Vigursvið og streymi. Sívalningshnit og kúluhnit. Taylor-margliður. Útgildi og flokkun stöðupunkta. Skilyrt útgildi. Fólgin föll og staðbundnar andhverfur. Ferilheildi, stofnföll. Heildun falla af tveimur breytistærðum. Óeiginleg heildi. Setning Greens. Einfaldlega samanhangandi svæði. Breytuskipti í tvöföldu heildi. Margföld heildi. Breytuskipti í margföldu heildi. Heildun á flötum. Flatarheildi vigursviðs. Setningar Stokes og Gauss.

Þetta er viðbót við námskeiðið "Líkindareikningur og tölfræði" STÆ203G. Farið er ítarlegar í frumatriði líkindafræðinnar með áherslu á skilgreiningar og sannanir. Námskeiðið er undirbúningur fyrir M-námskeiðin tvö í líkindafræði og M-námskeiðin tvö í tölfræði sem kennd eru á víxl annað hvert ár.

Viðfangsefni umfram þau sem koma við sögu í líkindahluta STÆ203G:

Skilgreining Kolmogorovs. Útleiðslur á reglum um samsetta atburði og skilyrt líkindi. Útleiðsla fyrir strjálar og samfelldar stærðir á reglum um væntigildi, dreifni, samdreifni, fylgni, og skilyrt væntigildi og dreifni. Útleiðslur á reglum um Bernoulli-, tvíkosta-, Poisson-, jafnar, veldis-, normlegar og gamma-stærðir. Útleiðsla á halasummureglu væntigildis og útleiðsla á væntigildi strjálu veldisstærðarinnar. Útleiðsla á reglunni um minnisleysi og veldisstærðir. Útleiðsla á dreifingum summu óháðra stærða s.s. tvíkosta-, Poisson-, normlegra og gamma-stærða. Líkinda- og vægisframleiðsluföll.

Net, netamótanir og netaeinsmótanir. Hlutnet, spannandi hlutnet. Vegir, tengd net. Örvanet. Tvíhlutanet. Euler-net og Hamilton-net; setningar Chvátals, Pósa, Ores og Diracs. Keppnisnet. Tré, spannandi tré, trjáfylkjasetningin, Cayley-setningin. Vegin net, reiknirit Kruskals og Dijkstra. Flæðinet, setning um hámarksflæði og lágmarkssnið, Ford-Fulkerson-reikniritið, Menger-setningin. Spyrðingar, Berge-setningin, giftingarsetning Halls, König-Egerváry-setningin, Kuhn-Munkres-reikniritið. Óaðskiljanleg net, tvítengd net. Lagnet, Euler-formúla, Kuratowski-setningin, nykurnet. Greypingar neta í fleti, Ringel-Youngs-Mayer-setningin. Litanir, litunarsetning Heawoods, Brooks-setningin, litamargliða; leggjalitanir, Vizing-setningin.

Námskeiðið er ætlað nemendum á öðru og þriðja ári. Markmiðið er að kynna nemendum ýmis fléttufræðileg kerfi, aðferðir við talningu og gagnlega eiginleika. Hagnýtingar á þessum kerfum og aðferðum.

Tilgangur þessa námskeiðs er að nemendur öðlist heildarsýn á þroska barna frá fæðingu og fram á unglingsár.

Inntak/viðfangsefni:
Fjallað verður um þær breytingar sem verða á þroska barna á mismunandi sviðum og aldursskeiðum og helstu kenningar sem notaðar hafa verið til að varpa ljósi á þessar breytingar. Fjallað verður um vitsmunaþroska, tilfinningaþroska og þróun tilfinningalegra tengsla, félagsþroska, þróun sjálfsmyndar og siðferðisvitundar. Námskenningum og vistfræðilegum kenningum (ecological approach) verður einnig gerð skil. Rætt verður um orsakir og eðli einstaklingsmunar, samfellu í þroska og sveigjanleika þroskaferlisins. Tengsl náms og þroska, áhugahvöt og áhrif uppeldis, menningar og félagslegra aðstæðna á þroska barna verða einnig til umfjöllunar. Áhersla verður lögð á gildi þroskasálfræðinnar í uppeldis- og skólastarfi.

Vinnulag:
Kennsla fer fram í fyrirlestrum og umræðu/verkefnatímum. Í umræðu/verkefnatímum fá nemendur þjálfun í að ræða námsefnið á gagnrýninn hátt.

Viðfangsefni eru úr sígildri rúmfræði. Undirstaða og uppbygging rúmfræði í sléttu. Hugtök, frumforsendur, skilgreiningar og setningar um samsíða línur, marghyrninga og hringi. Áhersla er lögð á röksemdafærslu og sannanir á setningum. Stuttlega er fjallað um þrívíðar rúmmyndir. Helstu reglur um flatarmál, ummál og rúmmál.

Í námskeiðinu er fjallað undistöðuatriði um tvö svið stærðfræðigreiningar, tvinnfallagreiningu og afleiðujöfnur, með áherslu á hagnýtingu og útreikninga á lausnum.

Viðfangsefni: Tvinntölur og varpanir á svæðum í tvinntalnasléttunni. Föll af einni tvinnbreytistærð. Fáguð föll. Veldisvísisfallið, lograr, rætur og horn. Cauchy-setningin og Cauchy-formúlan. Samleitni í jöfnum mæli. Veldaraðir. Laurent-raðir. Leifareikningur. Hagnýtingar á tvinnfallagreiningu í straumfræði. Venjulegar afleiðujöfnur og afleiðujöfnuhneppi. Línulegar afleiðujöfnur  með fastastuðlum. Ýmsar aðferðir til að reikna út sérlausnir. Green-föll fyrir upphafsgildisverkefni. Línuleg afleiðujöfnuhneppi. Veldisvísisfylkið. Veldaraðalausnir og aðferð Frobeniusar. Laplace-ummyndun og notkun hennar við lausn á afleiðujöfnum. Leifaformúlur fyrir Fourier-myndir og andhverfar Laplace-myndir.

Í námskeiðinu er fjallað um einfalda og fjölvíða aðhvarfsgreiningu ásamt fervikagreiningu (ANOVA) og samvikagreiningu (ANCOVA). Að auki er farið í tvíkosta aðhvarfsgreiningu (binomial regression) og rætt um hugtök því tengt, svo sem gagnlíkindi (odds) og gagnlíkindahlutfall (odds ratio).
Námskeiðið er framhald af dæmigerðu grunnnámskeiði í tölfræði sem kennd eru á hinum ýmsu sviðum skólans. Farið verður í aðferðir til að meta stika í línulegum líkönum, hvernig smíða má öryggisbil og kanna tilgátur fyrir stikana, hverjar forsendur líkananna eru og hvað hægt sé að gera sé þeim ekki fullnægt. Verkefni eru unnin í tölfræðihugbúnaðinum R.

Mengjafræði: Vensl; jafngildisvensl og raðvensl. Teljanleg mengi og óteljanleg. Samstétta mengi. Uppbygging talnakerfanna. Frumatriði um firðrúm: Opin mengi og lokuð, samleitnar runur og Cauchy-runur, þéttipunktar. Samfelldni og samfelldni í jöfnum mæli. Samleitni og samleitni í jöfnum mæli. Fallarunur og fallaraðir. Þjöppuð firðrúm. Samhangandi mengi. Fullkomin firðrúm og fullkomnun firðrúms. Fastapunktssetning Banachs; tilvistarsetning um afleiðujöfnu fyrstu raðar. Kennslubækur ákveðnar síðar.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort REI201G Stærðfræði og reiknifræði eða STÆ405G Töluleg greining.

Undirstöðuhugtök um nálgun og skekkjumat. Lausn línulegra og ólínulegra jöfnuhneppa. PLU-þáttun. Margliðubrúun, splæsibrúun og aðhvarfsgreining. Töluleg nálgun afleiða og heilda. Útgiskun. Töluleg lausn upphafshafsgildisverkefna fyrir venjuleg afleiðujöfnuhneppi. Fjölskrefaaðferðir. Töluleg lausn jaðargildisverkefna fyrir venjulegar afleiðujöfnur.

Gefin er einkunn fyrir skriflegar úrlausnir á forritunarverkefnum og vegur hún 30% af heildareinkunn. Stúdent verður að hafa lágmarkseinkunn 5 bæði fyrir verkefni og lokapróf.

Námskeiðið er að öllu jöfnu kennt annað hvert ár.

Á námskeiðinu læra nemar að skipuleggja stærðfræðikennslu í framhaldsskóla þannig að hún sé fjölbreytt og taki mið af þörfum allra nemenda. Áhersla verður lögð á að nemendur kynnist fjölbreyttu námsumhverfi og kennsluháttum sem byggja á rannsóknum á stærðfræðinámi og -kennslu. Í námskeiðinu er fjallað um markmið stærðfræðináms og hvernig þau birtast í námskrám og stefnuritum bæði hér á landi og í nágrannalöndum. Nemendur lesa um og fá tækifæri til að reyna í verki fjölbreyttar leiðir við að meta og greina stærðfræðilega hæfni.
Vinnulag í námskeiðinu felst í fyrirlestrum, verkefnavinnu kynningum, vettvangstengdum viðfangsefnum og gagnrýnni umræðu um viðfangsefni. Áhersla verður lögð á að nemar ræði um áskoranir sem upp geta komið við kennslu og leiti sjálfir leiða við lausn á ýmsum vandamálum sem lúta að stærðfræðinámi og -kennslu.

Grúpur, dæmi og helstu undirstöðuatriði. Samhverfugrúpur. Mótanir og normlegar hlutgrúpur. Baugar, dæmi og helstu undirstöðuatriði. Heilbaugar. Baugamótanir og íðul. Margliðubaugar og þáttun margliða. Valin viðfangsefni.

Markmið námskeiðsins er að gera nemendum kleift að beita forritun og reiknihugsun til að skapa tölvugrafík og leysa verkefni af ýmsu tagi, og jafnframt veita undirbúning til þess að kenna nemendum í grunn- og framhaldsskólum hið sama. Ekki er gert ráð fyrir að nemendur hafi fyrirfram þekkingu eða reynslu af forritun. 

Stærðfræðileg viðfangsefni námskeiðsins eru annars vegar úr hnitarúmfræði og hins vegar verður fjallað um grundvallaratriði reiknihugsunar: að þætta viðfangsefni í smærri verkefni; að finna mynstur; að draga út eiginleika (abstraction); að búa til reiknirit. Nemar læra um  notkun breytistærða, falla, lykkja og rökskilyrða í forritun. Nemar læra að nýta sér reiknihugsun til þess að smíða einföld grafísk líkön í tölvu, svo sem tölvuleiki eða listaverk, og að nota forritun til að leysa stærðfræðiverkefni.  

Á námskeiðinu læra nemar einnig að skipuleggja kennslu í grunn- og framhaldsskóla sem miðar að því að þroska reiknihugsun nemenda og getu til skapandi forritunar, auk nýtingar forritunar til að kanna stærðfræðileg viðfangsefni. Stærðfræðiforritið GeoGebra er sett í samhengi við reiknihugsun og möguleikar þess í stærðfræðikennslu kannaðir. Hugað er að stöðu forritunar og reiknihugsunar í samfélaginu og innan menntakerfisins, og tengslum við aðrar námsgreinar. 

Vinnulag í námskeiðinu felst fyrst og fremst í því að leysa verkefni, lestri og þátttöku í gagnrýnni umræðu.

Námskeiðið er ætlað nemendum sem lokið hafa að minnsta kosti 120 ECTS einingum. Nemendur sem ekki hafa lokið 120 ECTS einingum og hafa áhuga á að taka námskeiðið þurfa að fá samþykki umsjónarmanns fyrir þátttöku í námskeiðinu.

Hver nemandi velur og kynnir sér tiltekið afmarkað viðfangsefni stærðfræðinnar eða tölfræðinnar og fær leiðbeinanda tengdan því. Viðfangsefni eru ólík milli ára. Listi yfir viðfangsefni er gefinn út í upphafi eða aðdraganda námskeiðsins og einnig geta nemendur stungið upp á viðfangsefnum (að því gefnu að leiðbeinandi finnist). Nemendur skrifa ritgerð um sitt viðfangsefni og undirbúa og halda fyrirlestur um það á nemendaráðstefnu. Meðan á námskeiðinu stendur veita nemendur hvert öðru uppbyggilega endurgjöf bæði hvað varðar ritgerðarskrif og undirbúning á fyrirlestri. Auk þess að kynna eigin verkefni á nemendaráðstefnunni taka nemendur virkan þátt, hlusta á samnemendur sína og spyrja spurninga.

Fjallað er um hugtök, aðferðir og reiknirit á sviði gervigreindar, með áherslu á studdan og óstuddan lærdóm. Forvinnsla og myndræn framsetning gagna. Mat á gæðum líkana og val á líkönum. Línuleg aðhvarfsgreining, næstu nágrannar, stoðvigravélar, tauganet, ákvarðanatré og safnaðferðir. Djúpur lærdómur. Þyrpingagreining og k-means aðferðin. Nemendur útfæra einföld reiknirit í Python og læra á sérhæfða forritspakka. Námskeiðinu lýkur með hagnýtu verkefni.

Kennileg línuleg tölfræðilíkön er 6 ECTS-eininga framhaldsnámskeið um stærðfræðilega undirstöðu línulegra líkana, byggt á einni rúmfræðilegri meginhugmynd: mat er hornrétt ofanvarp og prófanir eru samanburður ofanvarpa á hreiðruð hlutrúm. Fjallað er um ofanvarpsvirkja, fjölvíðu normaldreifinguna og ferningsform, metanleika, aðferð minnstu kvaðrata, Gauss-Markov-setninguna, sennileikamat og alhæfða aðferð minnstu kvaðrata, prófanir og öryggissvæði, og beitingu á fervikagreiningu, aðhvarfsgreiningu og spá. Námskeiðið þróar kenninguna að baki aðferðum sem nemendur kunna úr STÆ312M.

Kennslubók er Christensen, Plane Answers to Complex Questions (4. útgáfa).

Námsmat: lokapróf (50%), miðannarpróf (25%) og fimm kynningar á heimadæmalausnum (25%).

Forkröfur: STÆ203, STÆ107, STÆ312M.

Sennileiki, tæmandi stærð, nægjanleikareglan, þvælistiki, skilyrðingarreglan, óbreytileikareglan, sennileikafræði. Tilgátupróf, einfaldar og samsettar tilgátur, Neyman-Pearson-setningin, styrkleiki, UMP-próf, óbreytileg próf. Umröðunarpróf, sætispróf. Bilmat, öryggisbil, öryggisstig, öryggissvæði. Punktmat, bjagi, meðalferskekkja. Skilaverkefni gilda 30% af lokaeinkunn.

Röksemdafærslur, sannanir. Samtengingar, fullyrðingareikningur, sannföll og sísönnur. Formleg mál, frumsendur, rökreglur, sísönnusetningin. Magnarar. Mál og kenningar fyrstu stéttar. Mynstur og líkön. Fullkomleikasetningin. Setning Löwenheims og Skolems. Reiknanleiki, rakin föll. Setning Gödels.

Markmið: Að kenna nemendum að beita ýmsum aðferðum úr Bayesískri tölfræði fyrir greiningu gagna. Námsefni: Fræðileg undirstaða Bayesískrar ályktunartölfræði, fyrirframdreifingar, gagnadreifingar og eftirádreifingar. Bayesísk ályktunartölfræði fyrir stika í einvíðum og margvíðum líkindadreifingum: tvíkosta-; normal-; Possion; veldis-; margvíð normal-; fjölkostadreifing.  Mat á gæðum líkans og samanburður á líkönum: Bayesísk p-gildi; deviance information criterion (DIC). Bayesísk hermun: Markov keðju Monte Carlo (MCMC) aðferðir; Gibbs sampler; Metropolis-Hastings skref; mat á samleitni. Línuleg líkön: normal línuleg líkön; stigskipt normal línuleg líkön; almenn línuleg líkön. Áhersla á greiningu gagna með forritum eins og Matlab og R.

Endanlegar stöðuvélar, regluleg mál og málskipan, staflavélar, samhengisóháð mál og málskipan, Turingvélar, almenn mál og málskipan og helstu eiginleikar þeirra.

Ávarðanleg og listanleg mál, yfirfærsla milli mála, tengsl við ákvörðnarverkefni og sönnun á óleysanleika slíkra verkefna. Flækjustigsflokkarnir P og NP og NP-fullkomleiki. Dæmi um ýmis líkön af reiknanleika.

Námskeiðið mun nota forritunarmálið Java. Fjallað er um gagnaskipan, reiknirit og huglæg gagnatög. Meðal gagnaskipana, sem farið er yfir, eru listar, hlaðar, biðraðir, forgangsbiðraðir, tré, tvítré, tvíleitartré og hrúgur auk viðkomandi reiknirita. Kynnt verða ýmis leitar- og röðunarreiknirit. Reiknirit eru greind, hvað þau taka langan tíma í vinnslu og hve mikið minnisrými. Forritunarverkefni, sem nota áðurnefnda gagnaskipan og reiknirit, eru leyst í Java. Mörg lítil forritunarverkefni verða í námskeiðinu.

Inngangsatriði slembiferla með megináherslu á Markovkeðjur.

Viðfangsefni: Hittitími, stöðuþáttun, óþáttanleiki, lota, endurkvæmni (jákvæð og núll-), hverfulleiki, tenging, endurnýjun, jafnvægi, tíma-viðsnúningur, tenging úr fortíðinni, greinaferli, biðraðir, martingalar, Brownhreyfing.

Markmið: Að kynna stærðfræðilegar aðferðir sem nytsamar eru í eðlisfræði og veita þjálfun í beitingu þeirra. Námsefni: Hljóðbylgjur í vökvum og lofttegundum. Spennutensor og þenslutensor, almennar hreyfingarjöfnur fyrir samfellt efni. Jarðskjálftabylgjur. Jöfnur Maxwells og rafsegulbylgjur. Flatar bylgjur, skautun, endurkast og brot. Dreififöll og Fourier-greining. Grunnlausnir og Green-föll hlutafleiðujafna. Bylgjur í einsleitum efnum. Lögmál Huygens og setning Leifs Ásgeirssonar. Tvístur (dispersion. Fasahraði og grúpuhraði. Jöfnur Kramers og Kronigs. Aðferð hins stöðuga fasa. Bylgjur á yfirborði vökva.

Markmið: Að kynna fyrir nemendum Fourier-greiningu og hlutafleiðujöfnur og hagnýtingu á þeim.

Lýsing: Fourier-raðir og þverstöðluð fallakerfi, jaðargildisverkefni fyrir venjulega afleiðuvirkja, eigingildisverkefni fyrir Sturm-Liouville-virkja, Fourier-ummyndun, bylgjujafnan, varmaleiðnijafnan og Laplace-jafnan leystar á ýmsum svæðum í einni, tveimur og þremur víddum með aðferðum úr fyrri hluta námskeiðsins, aðskilnaður breytistærða, grunnlausn, Green-föll, speglunaraðferðin.

Líkindi á grundvelli mál- og tegurfræði.

Viðfangsefni: Líkindi, útvíkkunarsetningar, óhæði, væntigildi. Borel-Cantelli-setningin og 0-1 lögmál Kolmogorovs.  Ójöfnur og hin veiku og sterku lögmál mikils fjölda. Samleitni í hverjum punkti, í líkindum, með líkunum einn, í dreifingu og í heildarviki. Tengiaðferðir. Höfuðmarkgildissetningin. Skilyrt líkindi og væntigildi.

Almenn grannfræði: Grannrúm og samfelldar varpanir. Hlutrúm, faldrúm og deildarúm. Samhangandi rúm og þjöppuð rúm. Aðskilnaðarfrumsendur, hjálparsetning Urysohns og firðanleikasetning, algerlega regluleg rúm og þjappanir. 

Aðferðir við hönnun og greiningu á tímaflækju reiknirita. Kynning og greining á reikniritum fyrir röðun, leit, netafræði og fylkjareikning. Torleysanleg vandamál, nálgunaraðferðir og slembin reiknirit.

Ath.: Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort TÖL101G Tölvunarfræði 1 eða TÖL105G Tölvunarfræði 1a.

Java forritunarmálið er notað til að kynna grunnhugtök í tölvuforritun: Tjáning og fullyrðingar, texta- og tölulegar gagnategundir, aðstæður og lykkjur, fylki, aðferðir, flokkar og hluti, inntak og úttak. Forritun og kembiforrit eru stunduð í spurningakeppnum og verkefnum alla önnina.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort TÖL101G Tölvunarfræði 1 eða TÖL105G Tölvunarfræði 1a.

Forritun í Python (sniðið að verkfræðilegum og raunvísindalegum útreikningum): Helstu skipanir og setningar (útreikningur, stýri-setningar, innlestur og útskrift), skilgreining og inning falla, gagnatög (tölur, fylki, strengir, rökgildi, færslur), aðgerðir og innbyggð föll, vigur- og fylkjareikningur, skráavinnsla, tölfræðileg úrvinnsla, myndvinnsla. Hlutbundin forritun: klasar, hlutir, smiðir og aðferðir. Hugtök tengd hönnun og smíði tölvukerfa: Forritunarumhverfi, vinnubrögð við forritun, gerð falla- og undirforritasafna og tilheyrandi skjölun, villuleit og prófun forrita.

Fjallað verður um tungumál stærðfræðinnar og frumatriði rökfræði og mengjafræði. Umfjöllun um rökfræði og mengjafræði er barnsleg (naive) en nógu nákvæm til að vera grundvöllur undir almenna notkun rökfræði og stærðfræði í stærðfræðinámi. Áhersla er á grunnhugtök eins og magnara, leiðingar, mengi, varpanir, eintæk og átæk. Þjálfun í að setja fram einfaldar sannanir.
Námskeiðið er kennt einu sinni í viku, 3 kennslustundir í senn. Skriflegt lokapróf verður í 12. kennsluviku. Nemendur vinna verkefni á misserinu sem gilda 30% af lokaeinkunn.

Þetta er grunnnámskeið um stærðfræðigreiningu í einni breytistærð. Æskilegur undirbúningur er að nemendur hafi lokið námskeiðum á framhaldsskólastigi sem fjalla um algebru, rúmfræði, hornaföll, diffrun og heildun. Námskeiðið leggur grunn að skilningi á greinum á borð við náttúrufræði, verkfræði, hagfræði og tölvunarfræði. Umfjöllunarefni námskeiðsins eru meðal annars:

• Rauntölur.
• Markgildi og samfelld föll.
• Deildanleg föll, reglur um afleiður, hærri afleiður, hagnýtingar deildareiknings (útgildisverkefni, línuleg nálgun).
• Torræð föll.
• Meðalgildissetning, setningar l'Hôpitals og Taylors.
• Heildun, ákveðin heildi og reiknireglur fyrir þau, stofnföll, óeiginleg heildi.
• Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar.
• Hagnýtingar heildareiknings: Bogalengd, flatarmál, rúmmál, þungamiðjur.
• Venjulegar afleiðujöfnur: fyrsta stigs línulegar diffurjöfnur, annars stigs línulegar diffurjöfnur með fastastuðlum.
• Runur og raðir, samleitnipróf.
• Veldaraðir, Taylor-raðir.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort REI201G  Stærðfræði og reiknifræði eða STÆ107G Línuleg algebra.

Fjallað er um undirstöðuatriði línulegar algebru yfir rauntölurnar.

Viðfangsefni: Línuleg jöfnuhneppi,fylkjareikningur, Gauss-Jordan aðferð.  Vigurrúm og hlutrúm þeirra.  Línulega óháð hlutmengi, grunnar og vídd.  Línulegar varpanir, myndrúm og kjarni.  Depilfargfeldið, lengd og horn.  Rúmmál í margvíðu hnitarúmi og krossfeldi í þrívíðu.  Flatneskjur, stikaframsetning og fólgin framsetning.  Hornrétt ofanvörp og einingaréttir grunnar.  Aðferð Grams og Schmidts.  Ákveður og andhverfur fylkja.  Eigingildi, eiginvigrar og hornalínugerningur.

Yrðingar, umsagnir og rökleiðingar. Mengjareikningur og Boolealgebrur. Þrepun og endurkvæmni. Grunnaðferðir við greiningu reiknirita og talningu. Einföld reiknirit í talnafræði. Vensl, eiginleikar þeirra og framsetning. Tré og net og einföld reiknirit tengd þeim. 

Í námskeiðinu er nemendum kynnt hvernig gera á skipulega mynd af ákvörðunar- og bestunarverkefnum í aðgerðagreiningu.
Að námskeiði loknu eiga nemendur að hafa færni í að setja upp, greina og leysa stærðfræðileg líkön sem standa fyrir raunhæfum verkefnum og hvernig meta eigi lausn þeirra á gagnrýninn hátt. Tekin eru fyrir línuleg bestun og Simplex aðferðin, auk skyld fræðileg efni.
Námskeiðið kynnir auk þess stærðfræðileg líkön fyrir einstök verkefni; flutningsverkefni, úthlutunarverkefni, netverkefni og heiltölubestun. Nemendur kynnast einnig sérhæfðu forritunarmáli við líkangerð fyrir línulega bestun.

Í námskeiðinu verður farið í valin viðfangsefni úr algebru, skólaalgebru og sögu algebrunnar. Fjallað verður um algebrukennslu á mismunandi skólastigum og þróun algebruhugsunar hjá nemendum á ýmsum aldursskeiðum.  

Hluti námskeiðsins er vettvangsnám og undirbúa nemar kennslu þar sem þeir kynna sér og kenna m.a. algebru á vettvangi. Að vettvangsnámi loknu ígrunda þeir kennsluna og vinna úr henni.

Í þessu námskeiði er fléttað saman stærðfræði og kennslufræði stærðfræðinnar. Nemendur kynnast líkindafræði og tölfræði, búa til stærðfræðilíkön og læra að nálgast stærðfræðikennslu út frá líkanasmíð. Meðal þess sem fjallað er um í námskeiðinu eru um umraðanir, samantektir, líkindareikningur sem byggir á talningu atburða, tvíkostadreifing og líkindadreifingar almennt. Fengist er við það hvernig ályktanir eru dregnar um líkindi út frá gögnum og hvernig tölvuhermanir geta nýst í þeim tilgangi. Kynntar eru mismunandi gerðir stærðfræðilíkana, svo sem líkön um línulegt samband, veldisvísisvöxt, öfugt hlutfall, veldisfall, línulega bestun með tveimur breytistærðum og netafræðileg líkön.

Fjallað verður um kennslufræði líkinda- og tölfræði og stærðfræðikennsla almennt skoðuð og greind út frá sjónarhorni líkanagerðar. Nemar fást við að velja og aðlaga verkefni fyrir kennslu líkinda- og tölfræði og að skipuleggja kennsluferli. Lögð er áhersla á stærðfræðikennslu sem snertir á mikilvægum álitamálum í samtímanum, svo sem loftslagsbreytingum og heimsfaröldrum.

Grundvallarhugtök í líkindafræði og tölfræði, stærðfræðileg undirstaða þeirra og beiting með tölfræðihugbúnaðinum R. 

• Líkindi, slembistærðir og væntigildi þeirra
• Mikilvægar líkindadreifingar
• Úrtök, lýsistærðir og úrtaksdreifing lýsistærða
• Metlar og öryggisbil
• Hugmyndafræði tilgátuprófa
• Mikilvæg tilgátupróf
• Línuleg aðhvarfsgreining

Í námskeiðinu er fengist við stærðfræðigreiningu falla af mörgum breytistærðum. Helstu hugtök sem koma vip sögu eru:

Opin mengi og lokuð. Varpanir, markgildi og samfelldni. Deildanlegar varpanir, hlutafleiður og keðjuregla. Jacobi-fylki. Stiglar og stefnuafleiður. Blandaðar hlutafleiður. Ferlar. Vigursvið og streymi. Sívalningshnit og kúluhnit. Taylor-margliður. Útgildi og flokkun stöðupunkta. Skilyrt útgildi. Fólgin föll og staðbundnar andhverfur. Ferilheildi, stofnföll. Heildun falla af tveimur breytistærðum. Óeiginleg heildi. Setning Greens. Einfaldlega samanhangandi svæði. Breytuskipti í tvöföldu heildi. Margföld heildi. Breytuskipti í margföldu heildi. Heildun á flötum. Flatarheildi vigursviðs. Setningar Stokes og Gauss.

Þetta er viðbót við námskeiðið "Líkindareikningur og tölfræði" STÆ203G. Farið er ítarlegar í frumatriði líkindafræðinnar með áherslu á skilgreiningar og sannanir. Námskeiðið er undirbúningur fyrir M-námskeiðin tvö í líkindafræði og M-námskeiðin tvö í tölfræði sem kennd eru á víxl annað hvert ár.

Viðfangsefni umfram þau sem koma við sögu í líkindahluta STÆ203G:

Skilgreining Kolmogorovs. Útleiðslur á reglum um samsetta atburði og skilyrt líkindi. Útleiðsla fyrir strjálar og samfelldar stærðir á reglum um væntigildi, dreifni, samdreifni, fylgni, og skilyrt væntigildi og dreifni. Útleiðslur á reglum um Bernoulli-, tvíkosta-, Poisson-, jafnar, veldis-, normlegar og gamma-stærðir. Útleiðsla á halasummureglu væntigildis og útleiðsla á væntigildi strjálu veldisstærðarinnar. Útleiðsla á reglunni um minnisleysi og veldisstærðir. Útleiðsla á dreifingum summu óháðra stærða s.s. tvíkosta-, Poisson-, normlegra og gamma-stærða. Líkinda- og vægisframleiðsluföll.

Net, netamótanir og netaeinsmótanir. Hlutnet, spannandi hlutnet. Vegir, tengd net. Örvanet. Tvíhlutanet. Euler-net og Hamilton-net; setningar Chvátals, Pósa, Ores og Diracs. Keppnisnet. Tré, spannandi tré, trjáfylkjasetningin, Cayley-setningin. Vegin net, reiknirit Kruskals og Dijkstra. Flæðinet, setning um hámarksflæði og lágmarkssnið, Ford-Fulkerson-reikniritið, Menger-setningin. Spyrðingar, Berge-setningin, giftingarsetning Halls, König-Egerváry-setningin, Kuhn-Munkres-reikniritið. Óaðskiljanleg net, tvítengd net. Lagnet, Euler-formúla, Kuratowski-setningin, nykurnet. Greypingar neta í fleti, Ringel-Youngs-Mayer-setningin. Litanir, litunarsetning Heawoods, Brooks-setningin, litamargliða; leggjalitanir, Vizing-setningin.

Námskeiðið er ætlað nemendum á öðru og þriðja ári. Markmiðið er að kynna nemendum ýmis fléttufræðileg kerfi, aðferðir við talningu og gagnlega eiginleika. Hagnýtingar á þessum kerfum og aðferðum.

Tilgangur þessa námskeiðs er að nemendur öðlist heildarsýn á þroska barna frá fæðingu og fram á unglingsár.

Inntak/viðfangsefni:
Fjallað verður um þær breytingar sem verða á þroska barna á mismunandi sviðum og aldursskeiðum og helstu kenningar sem notaðar hafa verið til að varpa ljósi á þessar breytingar. Fjallað verður um vitsmunaþroska, tilfinningaþroska og þróun tilfinningalegra tengsla, félagsþroska, þróun sjálfsmyndar og siðferðisvitundar. Námskenningum og vistfræðilegum kenningum (ecological approach) verður einnig gerð skil. Rætt verður um orsakir og eðli einstaklingsmunar, samfellu í þroska og sveigjanleika þroskaferlisins. Tengsl náms og þroska, áhugahvöt og áhrif uppeldis, menningar og félagslegra aðstæðna á þroska barna verða einnig til umfjöllunar. Áhersla verður lögð á gildi þroskasálfræðinnar í uppeldis- og skólastarfi.

Vinnulag:
Kennsla fer fram í fyrirlestrum og umræðu/verkefnatímum. Í umræðu/verkefnatímum fá nemendur þjálfun í að ræða námsefnið á gagnrýninn hátt.

Viðfangsefni eru úr sígildri rúmfræði. Undirstaða og uppbygging rúmfræði í sléttu. Hugtök, frumforsendur, skilgreiningar og setningar um samsíða línur, marghyrninga og hringi. Áhersla er lögð á röksemdafærslu og sannanir á setningum. Stuttlega er fjallað um þrívíðar rúmmyndir. Helstu reglur um flatarmál, ummál og rúmmál.

Í námskeiðinu er fjallað undistöðuatriði um tvö svið stærðfræðigreiningar, tvinnfallagreiningu og afleiðujöfnur, með áherslu á hagnýtingu og útreikninga á lausnum.

Viðfangsefni: Tvinntölur og varpanir á svæðum í tvinntalnasléttunni. Föll af einni tvinnbreytistærð. Fáguð föll. Veldisvísisfallið, lograr, rætur og horn. Cauchy-setningin og Cauchy-formúlan. Samleitni í jöfnum mæli. Veldaraðir. Laurent-raðir. Leifareikningur. Hagnýtingar á tvinnfallagreiningu í straumfræði. Venjulegar afleiðujöfnur og afleiðujöfnuhneppi. Línulegar afleiðujöfnur  með fastastuðlum. Ýmsar aðferðir til að reikna út sérlausnir. Green-föll fyrir upphafsgildisverkefni. Línuleg afleiðujöfnuhneppi. Veldisvísisfylkið. Veldaraðalausnir og aðferð Frobeniusar. Laplace-ummyndun og notkun hennar við lausn á afleiðujöfnum. Leifaformúlur fyrir Fourier-myndir og andhverfar Laplace-myndir.

Í námskeiðinu er fjallað um einfalda og fjölvíða aðhvarfsgreiningu ásamt fervikagreiningu (ANOVA) og samvikagreiningu (ANCOVA). Að auki er farið í tvíkosta aðhvarfsgreiningu (binomial regression) og rætt um hugtök því tengt, svo sem gagnlíkindi (odds) og gagnlíkindahlutfall (odds ratio).
Námskeiðið er framhald af dæmigerðu grunnnámskeiði í tölfræði sem kennd eru á hinum ýmsu sviðum skólans. Farið verður í aðferðir til að meta stika í línulegum líkönum, hvernig smíða má öryggisbil og kanna tilgátur fyrir stikana, hverjar forsendur líkananna eru og hvað hægt sé að gera sé þeim ekki fullnægt. Verkefni eru unnin í tölfræðihugbúnaðinum R.

Mengjafræði: Vensl; jafngildisvensl og raðvensl. Teljanleg mengi og óteljanleg. Samstétta mengi. Uppbygging talnakerfanna. Frumatriði um firðrúm: Opin mengi og lokuð, samleitnar runur og Cauchy-runur, þéttipunktar. Samfelldni og samfelldni í jöfnum mæli. Samleitni og samleitni í jöfnum mæli. Fallarunur og fallaraðir. Þjöppuð firðrúm. Samhangandi mengi. Fullkomin firðrúm og fullkomnun firðrúms. Fastapunktssetning Banachs; tilvistarsetning um afleiðujöfnu fyrstu raðar. Kennslubækur ákveðnar síðar.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort REI201G Stærðfræði og reiknifræði eða STÆ405G Töluleg greining.

Undirstöðuhugtök um nálgun og skekkjumat. Lausn línulegra og ólínulegra jöfnuhneppa. PLU-þáttun. Margliðubrúun, splæsibrúun og aðhvarfsgreining. Töluleg nálgun afleiða og heilda. Útgiskun. Töluleg lausn upphafshafsgildisverkefna fyrir venjuleg afleiðujöfnuhneppi. Fjölskrefaaðferðir. Töluleg lausn jaðargildisverkefna fyrir venjulegar afleiðujöfnur.

Gefin er einkunn fyrir skriflegar úrlausnir á forritunarverkefnum og vegur hún 30% af heildareinkunn. Stúdent verður að hafa lágmarkseinkunn 5 bæði fyrir verkefni og lokapróf.

Námskeiðið er að öllu jöfnu kennt annað hvert ár.

Á námskeiðinu læra nemar að skipuleggja stærðfræðikennslu í framhaldsskóla þannig að hún sé fjölbreytt og taki mið af þörfum allra nemenda. Áhersla verður lögð á að nemendur kynnist fjölbreyttu námsumhverfi og kennsluháttum sem byggja á rannsóknum á stærðfræðinámi og -kennslu. Í námskeiðinu er fjallað um markmið stærðfræðináms og hvernig þau birtast í námskrám og stefnuritum bæði hér á landi og í nágrannalöndum. Nemendur lesa um og fá tækifæri til að reyna í verki fjölbreyttar leiðir við að meta og greina stærðfræðilega hæfni.
Vinnulag í námskeiðinu felst í fyrirlestrum, verkefnavinnu kynningum, vettvangstengdum viðfangsefnum og gagnrýnni umræðu um viðfangsefni. Áhersla verður lögð á að nemar ræði um áskoranir sem upp geta komið við kennslu og leiti sjálfir leiða við lausn á ýmsum vandamálum sem lúta að stærðfræðinámi og -kennslu.

Grúpur, dæmi og helstu undirstöðuatriði. Samhverfugrúpur. Mótanir og normlegar hlutgrúpur. Baugar, dæmi og helstu undirstöðuatriði. Heilbaugar. Baugamótanir og íðul. Margliðubaugar og þáttun margliða. Valin viðfangsefni.

Markmið námskeiðsins er að gera nemendum kleift að beita forritun og reiknihugsun til að skapa tölvugrafík og leysa verkefni af ýmsu tagi, og jafnframt veita undirbúning til þess að kenna nemendum í grunn- og framhaldsskólum hið sama. Ekki er gert ráð fyrir að nemendur hafi fyrirfram þekkingu eða reynslu af forritun. 

Stærðfræðileg viðfangsefni námskeiðsins eru annars vegar úr hnitarúmfræði og hins vegar verður fjallað um grundvallaratriði reiknihugsunar: að þætta viðfangsefni í smærri verkefni; að finna mynstur; að draga út eiginleika (abstraction); að búa til reiknirit. Nemar læra um  notkun breytistærða, falla, lykkja og rökskilyrða í forritun. Nemar læra að nýta sér reiknihugsun til þess að smíða einföld grafísk líkön í tölvu, svo sem tölvuleiki eða listaverk, og að nota forritun til að leysa stærðfræðiverkefni.  

Á námskeiðinu læra nemar einnig að skipuleggja kennslu í grunn- og framhaldsskóla sem miðar að því að þroska reiknihugsun nemenda og getu til skapandi forritunar, auk nýtingar forritunar til að kanna stærðfræðileg viðfangsefni. Stærðfræðiforritið GeoGebra er sett í samhengi við reiknihugsun og möguleikar þess í stærðfræðikennslu kannaðir. Hugað er að stöðu forritunar og reiknihugsunar í samfélaginu og innan menntakerfisins, og tengslum við aðrar námsgreinar. 

Vinnulag í námskeiðinu felst fyrst og fremst í því að leysa verkefni, lestri og þátttöku í gagnrýnni umræðu.

Námskeiðið er ætlað nemendum sem lokið hafa að minnsta kosti 120 ECTS einingum. Nemendur sem ekki hafa lokið 120 ECTS einingum og hafa áhuga á að taka námskeiðið þurfa að fá samþykki umsjónarmanns fyrir þátttöku í námskeiðinu.

Hver nemandi velur og kynnir sér tiltekið afmarkað viðfangsefni stærðfræðinnar eða tölfræðinnar og fær leiðbeinanda tengdan því. Viðfangsefni eru ólík milli ára. Listi yfir viðfangsefni er gefinn út í upphafi eða aðdraganda námskeiðsins og einnig geta nemendur stungið upp á viðfangsefnum (að því gefnu að leiðbeinandi finnist). Nemendur skrifa ritgerð um sitt viðfangsefni og undirbúa og halda fyrirlestur um það á nemendaráðstefnu. Meðan á námskeiðinu stendur veita nemendur hvert öðru uppbyggilega endurgjöf bæði hvað varðar ritgerðarskrif og undirbúning á fyrirlestri. Auk þess að kynna eigin verkefni á nemendaráðstefnunni taka nemendur virkan þátt, hlusta á samnemendur sína og spyrja spurninga.

Fjallað er um hugtök, aðferðir og reiknirit á sviði gervigreindar, með áherslu á studdan og óstuddan lærdóm. Forvinnsla og myndræn framsetning gagna. Mat á gæðum líkana og val á líkönum. Línuleg aðhvarfsgreining, næstu nágrannar, stoðvigravélar, tauganet, ákvarðanatré og safnaðferðir. Djúpur lærdómur. Þyrpingagreining og k-means aðferðin. Nemendur útfæra einföld reiknirit í Python og læra á sérhæfða forritspakka. Námskeiðinu lýkur með hagnýtu verkefni.

Kennileg línuleg tölfræðilíkön er 6 ECTS-eininga framhaldsnámskeið um stærðfræðilega undirstöðu línulegra líkana, byggt á einni rúmfræðilegri meginhugmynd: mat er hornrétt ofanvarp og prófanir eru samanburður ofanvarpa á hreiðruð hlutrúm. Fjallað er um ofanvarpsvirkja, fjölvíðu normaldreifinguna og ferningsform, metanleika, aðferð minnstu kvaðrata, Gauss-Markov-setninguna, sennileikamat og alhæfða aðferð minnstu kvaðrata, prófanir og öryggissvæði, og beitingu á fervikagreiningu, aðhvarfsgreiningu og spá. Námskeiðið þróar kenninguna að baki aðferðum sem nemendur kunna úr STÆ312M.

Kennslubók er Christensen, Plane Answers to Complex Questions (4. útgáfa).

Námsmat: lokapróf (50%), miðannarpróf (25%) og fimm kynningar á heimadæmalausnum (25%).

Forkröfur: STÆ203, STÆ107, STÆ312M.

Sennileiki, tæmandi stærð, nægjanleikareglan, þvælistiki, skilyrðingarreglan, óbreytileikareglan, sennileikafræði. Tilgátupróf, einfaldar og samsettar tilgátur, Neyman-Pearson-setningin, styrkleiki, UMP-próf, óbreytileg próf. Umröðunarpróf, sætispróf. Bilmat, öryggisbil, öryggisstig, öryggissvæði. Punktmat, bjagi, meðalferskekkja. Skilaverkefni gilda 30% af lokaeinkunn.

Röksemdafærslur, sannanir. Samtengingar, fullyrðingareikningur, sannföll og sísönnur. Formleg mál, frumsendur, rökreglur, sísönnusetningin. Magnarar. Mál og kenningar fyrstu stéttar. Mynstur og líkön. Fullkomleikasetningin. Setning Löwenheims og Skolems. Reiknanleiki, rakin föll. Setning Gödels.

Markmið: Að kenna nemendum að beita ýmsum aðferðum úr Bayesískri tölfræði fyrir greiningu gagna. Námsefni: Fræðileg undirstaða Bayesískrar ályktunartölfræði, fyrirframdreifingar, gagnadreifingar og eftirádreifingar. Bayesísk ályktunartölfræði fyrir stika í einvíðum og margvíðum líkindadreifingum: tvíkosta-; normal-; Possion; veldis-; margvíð normal-; fjölkostadreifing.  Mat á gæðum líkans og samanburður á líkönum: Bayesísk p-gildi; deviance information criterion (DIC). Bayesísk hermun: Markov keðju Monte Carlo (MCMC) aðferðir; Gibbs sampler; Metropolis-Hastings skref; mat á samleitni. Línuleg líkön: normal línuleg líkön; stigskipt normal línuleg líkön; almenn línuleg líkön. Áhersla á greiningu gagna með forritum eins og Matlab og R.

Endanlegar stöðuvélar, regluleg mál og málskipan, staflavélar, samhengisóháð mál og málskipan, Turingvélar, almenn mál og málskipan og helstu eiginleikar þeirra.

Ávarðanleg og listanleg mál, yfirfærsla milli mála, tengsl við ákvörðnarverkefni og sönnun á óleysanleika slíkra verkefna. Flækjustigsflokkarnir P og NP og NP-fullkomleiki. Dæmi um ýmis líkön af reiknanleika.

Námskeiðið mun nota forritunarmálið Java. Fjallað er um gagnaskipan, reiknirit og huglæg gagnatög. Meðal gagnaskipana, sem farið er yfir, eru listar, hlaðar, biðraðir, forgangsbiðraðir, tré, tvítré, tvíleitartré og hrúgur auk viðkomandi reiknirita. Kynnt verða ýmis leitar- og röðunarreiknirit. Reiknirit eru greind, hvað þau taka langan tíma í vinnslu og hve mikið minnisrými. Forritunarverkefni, sem nota áðurnefnda gagnaskipan og reiknirit, eru leyst í Java. Mörg lítil forritunarverkefni verða í námskeiðinu.

Inngangsatriði slembiferla með megináherslu á Markovkeðjur.

Viðfangsefni: Hittitími, stöðuþáttun, óþáttanleiki, lota, endurkvæmni (jákvæð og núll-), hverfulleiki, tenging, endurnýjun, jafnvægi, tíma-viðsnúningur, tenging úr fortíðinni, greinaferli, biðraðir, martingalar, Brownhreyfing.

Markmið: Að kynna stærðfræðilegar aðferðir sem nytsamar eru í eðlisfræði og veita þjálfun í beitingu þeirra. Námsefni: Hljóðbylgjur í vökvum og lofttegundum. Spennutensor og þenslutensor, almennar hreyfingarjöfnur fyrir samfellt efni. Jarðskjálftabylgjur. Jöfnur Maxwells og rafsegulbylgjur. Flatar bylgjur, skautun, endurkast og brot. Dreififöll og Fourier-greining. Grunnlausnir og Green-föll hlutafleiðujafna. Bylgjur í einsleitum efnum. Lögmál Huygens og setning Leifs Ásgeirssonar. Tvístur (dispersion. Fasahraði og grúpuhraði. Jöfnur Kramers og Kronigs. Aðferð hins stöðuga fasa. Bylgjur á yfirborði vökva.

Markmið: Að kynna fyrir nemendum Fourier-greiningu og hlutafleiðujöfnur og hagnýtingu á þeim.

Lýsing: Fourier-raðir og þverstöðluð fallakerfi, jaðargildisverkefni fyrir venjulega afleiðuvirkja, eigingildisverkefni fyrir Sturm-Liouville-virkja, Fourier-ummyndun, bylgjujafnan, varmaleiðnijafnan og Laplace-jafnan leystar á ýmsum svæðum í einni, tveimur og þremur víddum með aðferðum úr fyrri hluta námskeiðsins, aðskilnaður breytistærða, grunnlausn, Green-föll, speglunaraðferðin.

Líkindi á grundvelli mál- og tegurfræði.

Viðfangsefni: Líkindi, útvíkkunarsetningar, óhæði, væntigildi. Borel-Cantelli-setningin og 0-1 lögmál Kolmogorovs.  Ójöfnur og hin veiku og sterku lögmál mikils fjölda. Samleitni í hverjum punkti, í líkindum, með líkunum einn, í dreifingu og í heildarviki. Tengiaðferðir. Höfuðmarkgildissetningin. Skilyrt líkindi og væntigildi.

Almenn grannfræði: Grannrúm og samfelldar varpanir. Hlutrúm, faldrúm og deildarúm. Samhangandi rúm og þjöppuð rúm. Aðskilnaðarfrumsendur, hjálparsetning Urysohns og firðanleikasetning, algerlega regluleg rúm og þjappanir. 

Aðferðir við hönnun og greiningu á tímaflækju reiknirita. Kynning og greining á reikniritum fyrir röðun, leit, netafræði og fylkjareikning. Torleysanleg vandamál, nálgunaraðferðir og slembin reiknirit.

Ath.: Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort TÖL101G Tölvunarfræði 1 eða TÖL105G Tölvunarfræði 1a.

Java forritunarmálið er notað til að kynna grunnhugtök í tölvuforritun: Tjáning og fullyrðingar, texta- og tölulegar gagnategundir, aðstæður og lykkjur, fylki, aðferðir, flokkar og hluti, inntak og úttak. Forritun og kembiforrit eru stunduð í spurningakeppnum og verkefnum alla önnina.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort TÖL101G Tölvunarfræði 1 eða TÖL105G Tölvunarfræði 1a.

Forritun í Python (sniðið að verkfræðilegum og raunvísindalegum útreikningum): Helstu skipanir og setningar (útreikningur, stýri-setningar, innlestur og útskrift), skilgreining og inning falla, gagnatög (tölur, fylki, strengir, rökgildi, færslur), aðgerðir og innbyggð föll, vigur- og fylkjareikningur, skráavinnsla, tölfræðileg úrvinnsla, myndvinnsla. Hlutbundin forritun: klasar, hlutir, smiðir og aðferðir. Hugtök tengd hönnun og smíði tölvukerfa: Forritunarumhverfi, vinnubrögð við forritun, gerð falla- og undirforritasafna og tilheyrandi skjölun, villuleit og prófun forrita.

Fjallað verður um tungumál stærðfræðinnar og frumatriði rökfræði og mengjafræði. Umfjöllun um rökfræði og mengjafræði er barnsleg (naive) en nógu nákvæm til að vera grundvöllur undir almenna notkun rökfræði og stærðfræði í stærðfræðinámi. Áhersla er á grunnhugtök eins og magnara, leiðingar, mengi, varpanir, eintæk og átæk. Þjálfun í að setja fram einfaldar sannanir.
Námskeiðið er kennt einu sinni í viku, 3 kennslustundir í senn. Skriflegt lokapróf verður í 12. kennsluviku. Nemendur vinna verkefni á misserinu sem gilda 30% af lokaeinkunn.

Þetta er grunnnámskeið um stærðfræðigreiningu í einni breytistærð. Æskilegur undirbúningur er að nemendur hafi lokið námskeiðum á framhaldsskólastigi sem fjalla um algebru, rúmfræði, hornaföll, diffrun og heildun. Námskeiðið leggur grunn að skilningi á greinum á borð við náttúrufræði, verkfræði, hagfræði og tölvunarfræði. Umfjöllunarefni námskeiðsins eru meðal annars:

• Rauntölur.
• Markgildi og samfelld föll.
• Deildanleg föll, reglur um afleiður, hærri afleiður, hagnýtingar deildareiknings (útgildisverkefni, línuleg nálgun).
• Torræð föll.
• Meðalgildissetning, setningar l'Hôpitals og Taylors.
• Heildun, ákveðin heildi og reiknireglur fyrir þau, stofnföll, óeiginleg heildi.
• Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar.
• Hagnýtingar heildareiknings: Bogalengd, flatarmál, rúmmál, þungamiðjur.
• Venjulegar afleiðujöfnur: fyrsta stigs línulegar diffurjöfnur, annars stigs línulegar diffurjöfnur með fastastuðlum.
• Runur og raðir, samleitnipróf.
• Veldaraðir, Taylor-raðir.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort REI201G  Stærðfræði og reiknifræði eða STÆ107G Línuleg algebra.

Fjallað er um undirstöðuatriði línulegar algebru yfir rauntölurnar.

Viðfangsefni: Línuleg jöfnuhneppi,fylkjareikningur, Gauss-Jordan aðferð.  Vigurrúm og hlutrúm þeirra.  Línulega óháð hlutmengi, grunnar og vídd.  Línulegar varpanir, myndrúm og kjarni.  Depilfargfeldið, lengd og horn.  Rúmmál í margvíðu hnitarúmi og krossfeldi í þrívíðu.  Flatneskjur, stikaframsetning og fólgin framsetning.  Hornrétt ofanvörp og einingaréttir grunnar.  Aðferð Grams og Schmidts.  Ákveður og andhverfur fylkja.  Eigingildi, eiginvigrar og hornalínugerningur.

Yrðingar, umsagnir og rökleiðingar. Mengjareikningur og Boolealgebrur. Þrepun og endurkvæmni. Grunnaðferðir við greiningu reiknirita og talningu. Einföld reiknirit í talnafræði. Vensl, eiginleikar þeirra og framsetning. Tré og net og einföld reiknirit tengd þeim. 

Í námskeiðinu er nemendum kynnt hvernig gera á skipulega mynd af ákvörðunar- og bestunarverkefnum í aðgerðagreiningu.
Að námskeiði loknu eiga nemendur að hafa færni í að setja upp, greina og leysa stærðfræðileg líkön sem standa fyrir raunhæfum verkefnum og hvernig meta eigi lausn þeirra á gagnrýninn hátt. Tekin eru fyrir línuleg bestun og Simplex aðferðin, auk skyld fræðileg efni.
Námskeiðið kynnir auk þess stærðfræðileg líkön fyrir einstök verkefni; flutningsverkefni, úthlutunarverkefni, netverkefni og heiltölubestun. Nemendur kynnast einnig sérhæfðu forritunarmáli við líkangerð fyrir línulega bestun.

Í námskeiðinu verður farið í valin viðfangsefni úr algebru, skólaalgebru og sögu algebrunnar. Fjallað verður um algebrukennslu á mismunandi skólastigum og þróun algebruhugsunar hjá nemendum á ýmsum aldursskeiðum.  

Hluti námskeiðsins er vettvangsnám og undirbúa nemar kennslu þar sem þeir kynna sér og kenna m.a. algebru á vettvangi. Að vettvangsnámi loknu ígrunda þeir kennsluna og vinna úr henni.

Í þessu námskeiði er fléttað saman stærðfræði og kennslufræði stærðfræðinnar. Nemendur kynnast líkindafræði og tölfræði, búa til stærðfræðilíkön og læra að nálgast stærðfræðikennslu út frá líkanasmíð. Meðal þess sem fjallað er um í námskeiðinu eru um umraðanir, samantektir, líkindareikningur sem byggir á talningu atburða, tvíkostadreifing og líkindadreifingar almennt. Fengist er við það hvernig ályktanir eru dregnar um líkindi út frá gögnum og hvernig tölvuhermanir geta nýst í þeim tilgangi. Kynntar eru mismunandi gerðir stærðfræðilíkana, svo sem líkön um línulegt samband, veldisvísisvöxt, öfugt hlutfall, veldisfall, línulega bestun með tveimur breytistærðum og netafræðileg líkön.

Fjallað verður um kennslufræði líkinda- og tölfræði og stærðfræðikennsla almennt skoðuð og greind út frá sjónarhorni líkanagerðar. Nemar fást við að velja og aðlaga verkefni fyrir kennslu líkinda- og tölfræði og að skipuleggja kennsluferli. Lögð er áhersla á stærðfræðikennslu sem snertir á mikilvægum álitamálum í samtímanum, svo sem loftslagsbreytingum og heimsfaröldrum.

Grundvallarhugtök í líkindafræði og tölfræði, stærðfræðileg undirstaða þeirra og beiting með tölfræðihugbúnaðinum R. 

• Líkindi, slembistærðir og væntigildi þeirra
• Mikilvægar líkindadreifingar
• Úrtök, lýsistærðir og úrtaksdreifing lýsistærða
• Metlar og öryggisbil
• Hugmyndafræði tilgátuprófa
• Mikilvæg tilgátupróf
• Línuleg aðhvarfsgreining

Í námskeiðinu er fengist við stærðfræðigreiningu falla af mörgum breytistærðum. Helstu hugtök sem koma vip sögu eru:

Opin mengi og lokuð. Varpanir, markgildi og samfelldni. Deildanlegar varpanir, hlutafleiður og keðjuregla. Jacobi-fylki. Stiglar og stefnuafleiður. Blandaðar hlutafleiður. Ferlar. Vigursvið og streymi. Sívalningshnit og kúluhnit. Taylor-margliður. Útgildi og flokkun stöðupunkta. Skilyrt útgildi. Fólgin föll og staðbundnar andhverfur. Ferilheildi, stofnföll. Heildun falla af tveimur breytistærðum. Óeiginleg heildi. Setning Greens. Einfaldlega samanhangandi svæði. Breytuskipti í tvöföldu heildi. Margföld heildi. Breytuskipti í margföldu heildi. Heildun á flötum. Flatarheildi vigursviðs. Setningar Stokes og Gauss.

Þetta er viðbót við námskeiðið "Líkindareikningur og tölfræði" STÆ203G. Farið er ítarlegar í frumatriði líkindafræðinnar með áherslu á skilgreiningar og sannanir. Námskeiðið er undirbúningur fyrir M-námskeiðin tvö í líkindafræði og M-námskeiðin tvö í tölfræði sem kennd eru á víxl annað hvert ár.

Viðfangsefni umfram þau sem koma við sögu í líkindahluta STÆ203G:

Skilgreining Kolmogorovs. Útleiðslur á reglum um samsetta atburði og skilyrt líkindi. Útleiðsla fyrir strjálar og samfelldar stærðir á reglum um væntigildi, dreifni, samdreifni, fylgni, og skilyrt væntigildi og dreifni. Útleiðslur á reglum um Bernoulli-, tvíkosta-, Poisson-, jafnar, veldis-, normlegar og gamma-stærðir. Útleiðsla á halasummureglu væntigildis og útleiðsla á væntigildi strjálu veldisstærðarinnar. Útleiðsla á reglunni um minnisleysi og veldisstærðir. Útleiðsla á dreifingum summu óháðra stærða s.s. tvíkosta-, Poisson-, normlegra og gamma-stærða. Líkinda- og vægisframleiðsluföll.

Net, netamótanir og netaeinsmótanir. Hlutnet, spannandi hlutnet. Vegir, tengd net. Örvanet. Tvíhlutanet. Euler-net og Hamilton-net; setningar Chvátals, Pósa, Ores og Diracs. Keppnisnet. Tré, spannandi tré, trjáfylkjasetningin, Cayley-setningin. Vegin net, reiknirit Kruskals og Dijkstra. Flæðinet, setning um hámarksflæði og lágmarkssnið, Ford-Fulkerson-reikniritið, Menger-setningin. Spyrðingar, Berge-setningin, giftingarsetning Halls, König-Egerváry-setningin, Kuhn-Munkres-reikniritið. Óaðskiljanleg net, tvítengd net. Lagnet, Euler-formúla, Kuratowski-setningin, nykurnet. Greypingar neta í fleti, Ringel-Youngs-Mayer-setningin. Litanir, litunarsetning Heawoods, Brooks-setningin, litamargliða; leggjalitanir, Vizing-setningin.

Námskeiðið er ætlað nemendum á öðru og þriðja ári. Markmiðið er að kynna nemendum ýmis fléttufræðileg kerfi, aðferðir við talningu og gagnlega eiginleika. Hagnýtingar á þessum kerfum og aðferðum.

Tilgangur þessa námskeiðs er að nemendur öðlist heildarsýn á þroska barna frá fæðingu og fram á unglingsár.

Inntak/viðfangsefni:
Fjallað verður um þær breytingar sem verða á þroska barna á mismunandi sviðum og aldursskeiðum og helstu kenningar sem notaðar hafa verið til að varpa ljósi á þessar breytingar. Fjallað verður um vitsmunaþroska, tilfinningaþroska og þróun tilfinningalegra tengsla, félagsþroska, þróun sjálfsmyndar og siðferðisvitundar. Námskenningum og vistfræðilegum kenningum (ecological approach) verður einnig gerð skil. Rætt verður um orsakir og eðli einstaklingsmunar, samfellu í þroska og sveigjanleika þroskaferlisins. Tengsl náms og þroska, áhugahvöt og áhrif uppeldis, menningar og félagslegra aðstæðna á þroska barna verða einnig til umfjöllunar. Áhersla verður lögð á gildi þroskasálfræðinnar í uppeldis- og skólastarfi.

Vinnulag:
Kennsla fer fram í fyrirlestrum og umræðu/verkefnatímum. Í umræðu/verkefnatímum fá nemendur þjálfun í að ræða námsefnið á gagnrýninn hátt.

Viðfangsefni eru úr sígildri rúmfræði. Undirstaða og uppbygging rúmfræði í sléttu. Hugtök, frumforsendur, skilgreiningar og setningar um samsíða línur, marghyrninga og hringi. Áhersla er lögð á röksemdafærslu og sannanir á setningum. Stuttlega er fjallað um þrívíðar rúmmyndir. Helstu reglur um flatarmál, ummál og rúmmál.

Í námskeiðinu er fjallað undistöðuatriði um tvö svið stærðfræðigreiningar, tvinnfallagreiningu og afleiðujöfnur, með áherslu á hagnýtingu og útreikninga á lausnum.

Viðfangsefni: Tvinntölur og varpanir á svæðum í tvinntalnasléttunni. Föll af einni tvinnbreytistærð. Fáguð föll. Veldisvísisfallið, lograr, rætur og horn. Cauchy-setningin og Cauchy-formúlan. Samleitni í jöfnum mæli. Veldaraðir. Laurent-raðir. Leifareikningur. Hagnýtingar á tvinnfallagreiningu í straumfræði. Venjulegar afleiðujöfnur og afleiðujöfnuhneppi. Línulegar afleiðujöfnur  með fastastuðlum. Ýmsar aðferðir til að reikna út sérlausnir. Green-föll fyrir upphafsgildisverkefni. Línuleg afleiðujöfnuhneppi. Veldisvísisfylkið. Veldaraðalausnir og aðferð Frobeniusar. Laplace-ummyndun og notkun hennar við lausn á afleiðujöfnum. Leifaformúlur fyrir Fourier-myndir og andhverfar Laplace-myndir.

Í námskeiðinu er fjallað um einfalda og fjölvíða aðhvarfsgreiningu ásamt fervikagreiningu (ANOVA) og samvikagreiningu (ANCOVA). Að auki er farið í tvíkosta aðhvarfsgreiningu (binomial regression) og rætt um hugtök því tengt, svo sem gagnlíkindi (odds) og gagnlíkindahlutfall (odds ratio).
Námskeiðið er framhald af dæmigerðu grunnnámskeiði í tölfræði sem kennd eru á hinum ýmsu sviðum skólans. Farið verður í aðferðir til að meta stika í línulegum líkönum, hvernig smíða má öryggisbil og kanna tilgátur fyrir stikana, hverjar forsendur líkananna eru og hvað hægt sé að gera sé þeim ekki fullnægt. Verkefni eru unnin í tölfræðihugbúnaðinum R.

Mengjafræði: Vensl; jafngildisvensl og raðvensl. Teljanleg mengi og óteljanleg. Samstétta mengi. Uppbygging talnakerfanna. Frumatriði um firðrúm: Opin mengi og lokuð, samleitnar runur og Cauchy-runur, þéttipunktar. Samfelldni og samfelldni í jöfnum mæli. Samleitni og samleitni í jöfnum mæli. Fallarunur og fallaraðir. Þjöppuð firðrúm. Samhangandi mengi. Fullkomin firðrúm og fullkomnun firðrúms. Fastapunktssetning Banachs; tilvistarsetning um afleiðujöfnu fyrstu raðar. Kennslubækur ákveðnar síðar.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort REI201G Stærðfræði og reiknifræði eða STÆ405G Töluleg greining.

Undirstöðuhugtök um nálgun og skekkjumat. Lausn línulegra og ólínulegra jöfnuhneppa. PLU-þáttun. Margliðubrúun, splæsibrúun og aðhvarfsgreining. Töluleg nálgun afleiða og heilda. Útgiskun. Töluleg lausn upphafshafsgildisverkefna fyrir venjuleg afleiðujöfnuhneppi. Fjölskrefaaðferðir. Töluleg lausn jaðargildisverkefna fyrir venjulegar afleiðujöfnur.

Gefin er einkunn fyrir skriflegar úrlausnir á forritunarverkefnum og vegur hún 30% af heildareinkunn. Stúdent verður að hafa lágmarkseinkunn 5 bæði fyrir verkefni og lokapróf.

Námskeiðið er að öllu jöfnu kennt annað hvert ár.

Á námskeiðinu læra nemar að skipuleggja stærðfræðikennslu í framhaldsskóla þannig að hún sé fjölbreytt og taki mið af þörfum allra nemenda. Áhersla verður lögð á að nemendur kynnist fjölbreyttu námsumhverfi og kennsluháttum sem byggja á rannsóknum á stærðfræðinámi og -kennslu. Í námskeiðinu er fjallað um markmið stærðfræðináms og hvernig þau birtast í námskrám og stefnuritum bæði hér á landi og í nágrannalöndum. Nemendur lesa um og fá tækifæri til að reyna í verki fjölbreyttar leiðir við að meta og greina stærðfræðilega hæfni.
Vinnulag í námskeiðinu felst í fyrirlestrum, verkefnavinnu kynningum, vettvangstengdum viðfangsefnum og gagnrýnni umræðu um viðfangsefni. Áhersla verður lögð á að nemar ræði um áskoranir sem upp geta komið við kennslu og leiti sjálfir leiða við lausn á ýmsum vandamálum sem lúta að stærðfræðinámi og -kennslu.

Grúpur, dæmi og helstu undirstöðuatriði. Samhverfugrúpur. Mótanir og normlegar hlutgrúpur. Baugar, dæmi og helstu undirstöðuatriði. Heilbaugar. Baugamótanir og íðul. Margliðubaugar og þáttun margliða. Valin viðfangsefni.

Markmið námskeiðsins er að gera nemendum kleift að beita forritun og reiknihugsun til að skapa tölvugrafík og leysa verkefni af ýmsu tagi, og jafnframt veita undirbúning til þess að kenna nemendum í grunn- og framhaldsskólum hið sama. Ekki er gert ráð fyrir að nemendur hafi fyrirfram þekkingu eða reynslu af forritun. 

Stærðfræðileg viðfangsefni námskeiðsins eru annars vegar úr hnitarúmfræði og hins vegar verður fjallað um grundvallaratriði reiknihugsunar: að þætta viðfangsefni í smærri verkefni; að finna mynstur; að draga út eiginleika (abstraction); að búa til reiknirit. Nemar læra um  notkun breytistærða, falla, lykkja og rökskilyrða í forritun. Nemar læra að nýta sér reiknihugsun til þess að smíða einföld grafísk líkön í tölvu, svo sem tölvuleiki eða listaverk, og að nota forritun til að leysa stærðfræðiverkefni.  

Á námskeiðinu læra nemar einnig að skipuleggja kennslu í grunn- og framhaldsskóla sem miðar að því að þroska reiknihugsun nemenda og getu til skapandi forritunar, auk nýtingar forritunar til að kanna stærðfræðileg viðfangsefni. Stærðfræðiforritið GeoGebra er sett í samhengi við reiknihugsun og möguleikar þess í stærðfræðikennslu kannaðir. Hugað er að stöðu forritunar og reiknihugsunar í samfélaginu og innan menntakerfisins, og tengslum við aðrar námsgreinar. 

Vinnulag í námskeiðinu felst fyrst og fremst í því að leysa verkefni, lestri og þátttöku í gagnrýnni umræðu.

Námskeiðið er ætlað nemendum sem lokið hafa að minnsta kosti 120 ECTS einingum. Nemendur sem ekki hafa lokið 120 ECTS einingum og hafa áhuga á að taka námskeiðið þurfa að fá samþykki umsjónarmanns fyrir þátttöku í námskeiðinu.

Hver nemandi velur og kynnir sér tiltekið afmarkað viðfangsefni stærðfræðinnar eða tölfræðinnar og fær leiðbeinanda tengdan því. Viðfangsefni eru ólík milli ára. Listi yfir viðfangsefni er gefinn út í upphafi eða aðdraganda námskeiðsins og einnig geta nemendur stungið upp á viðfangsefnum (að því gefnu að leiðbeinandi finnist). Nemendur skrifa ritgerð um sitt viðfangsefni og undirbúa og halda fyrirlestur um það á nemendaráðstefnu. Meðan á námskeiðinu stendur veita nemendur hvert öðru uppbyggilega endurgjöf bæði hvað varðar ritgerðarskrif og undirbúning á fyrirlestri. Auk þess að kynna eigin verkefni á nemendaráðstefnunni taka nemendur virkan þátt, hlusta á samnemendur sína og spyrja spurninga.

Fjallað er um hugtök, aðferðir og reiknirit á sviði gervigreindar, með áherslu á studdan og óstuddan lærdóm. Forvinnsla og myndræn framsetning gagna. Mat á gæðum líkana og val á líkönum. Línuleg aðhvarfsgreining, næstu nágrannar, stoðvigravélar, tauganet, ákvarðanatré og safnaðferðir. Djúpur lærdómur. Þyrpingagreining og k-means aðferðin. Nemendur útfæra einföld reiknirit í Python og læra á sérhæfða forritspakka. Námskeiðinu lýkur með hagnýtu verkefni.

Kennileg línuleg tölfræðilíkön er 6 ECTS-eininga framhaldsnámskeið um stærðfræðilega undirstöðu línulegra líkana, byggt á einni rúmfræðilegri meginhugmynd: mat er hornrétt ofanvarp og prófanir eru samanburður ofanvarpa á hreiðruð hlutrúm. Fjallað er um ofanvarpsvirkja, fjölvíðu normaldreifinguna og ferningsform, metanleika, aðferð minnstu kvaðrata, Gauss-Markov-setninguna, sennileikamat og alhæfða aðferð minnstu kvaðrata, prófanir og öryggissvæði, og beitingu á fervikagreiningu, aðhvarfsgreiningu og spá. Námskeiðið þróar kenninguna að baki aðferðum sem nemendur kunna úr STÆ312M.

Kennslubók er Christensen, Plane Answers to Complex Questions (4. útgáfa).

Námsmat: lokapróf (50%), miðannarpróf (25%) og fimm kynningar á heimadæmalausnum (25%).

Forkröfur: STÆ203, STÆ107, STÆ312M.

Sennileiki, tæmandi stærð, nægjanleikareglan, þvælistiki, skilyrðingarreglan, óbreytileikareglan, sennileikafræði. Tilgátupróf, einfaldar og samsettar tilgátur, Neyman-Pearson-setningin, styrkleiki, UMP-próf, óbreytileg próf. Umröðunarpróf, sætispróf. Bilmat, öryggisbil, öryggisstig, öryggissvæði. Punktmat, bjagi, meðalferskekkja. Skilaverkefni gilda 30% af lokaeinkunn.

Röksemdafærslur, sannanir. Samtengingar, fullyrðingareikningur, sannföll og sísönnur. Formleg mál, frumsendur, rökreglur, sísönnusetningin. Magnarar. Mál og kenningar fyrstu stéttar. Mynstur og líkön. Fullkomleikasetningin. Setning Löwenheims og Skolems. Reiknanleiki, rakin föll. Setning Gödels.

Markmið: Að kenna nemendum að beita ýmsum aðferðum úr Bayesískri tölfræði fyrir greiningu gagna. Námsefni: Fræðileg undirstaða Bayesískrar ályktunartölfræði, fyrirframdreifingar, gagnadreifingar og eftirádreifingar. Bayesísk ályktunartölfræði fyrir stika í einvíðum og margvíðum líkindadreifingum: tvíkosta-; normal-; Possion; veldis-; margvíð normal-; fjölkostadreifing.  Mat á gæðum líkans og samanburður á líkönum: Bayesísk p-gildi; deviance information criterion (DIC). Bayesísk hermun: Markov keðju Monte Carlo (MCMC) aðferðir; Gibbs sampler; Metropolis-Hastings skref; mat á samleitni. Línuleg líkön: normal línuleg líkön; stigskipt normal línuleg líkön; almenn línuleg líkön. Áhersla á greiningu gagna með forritum eins og Matlab og R.

Endanlegar stöðuvélar, regluleg mál og málskipan, staflavélar, samhengisóháð mál og málskipan, Turingvélar, almenn mál og málskipan og helstu eiginleikar þeirra.

Ávarðanleg og listanleg mál, yfirfærsla milli mála, tengsl við ákvörðnarverkefni og sönnun á óleysanleika slíkra verkefna. Flækjustigsflokkarnir P og NP og NP-fullkomleiki. Dæmi um ýmis líkön af reiknanleika.

Námskeiðið mun nota forritunarmálið Java. Fjallað er um gagnaskipan, reiknirit og huglæg gagnatög. Meðal gagnaskipana, sem farið er yfir, eru listar, hlaðar, biðraðir, forgangsbiðraðir, tré, tvítré, tvíleitartré og hrúgur auk viðkomandi reiknirita. Kynnt verða ýmis leitar- og röðunarreiknirit. Reiknirit eru greind, hvað þau taka langan tíma í vinnslu og hve mikið minnisrými. Forritunarverkefni, sem nota áðurnefnda gagnaskipan og reiknirit, eru leyst í Java. Mörg lítil forritunarverkefni verða í námskeiðinu.

Inngangsatriði slembiferla með megináherslu á Markovkeðjur.

Viðfangsefni: Hittitími, stöðuþáttun, óþáttanleiki, lota, endurkvæmni (jákvæð og núll-), hverfulleiki, tenging, endurnýjun, jafnvægi, tíma-viðsnúningur, tenging úr fortíðinni, greinaferli, biðraðir, martingalar, Brownhreyfing.

Markmið: Að kynna stærðfræðilegar aðferðir sem nytsamar eru í eðlisfræði og veita þjálfun í beitingu þeirra. Námsefni: Hljóðbylgjur í vökvum og lofttegundum. Spennutensor og þenslutensor, almennar hreyfingarjöfnur fyrir samfellt efni. Jarðskjálftabylgjur. Jöfnur Maxwells og rafsegulbylgjur. Flatar bylgjur, skautun, endurkast og brot. Dreififöll og Fourier-greining. Grunnlausnir og Green-föll hlutafleiðujafna. Bylgjur í einsleitum efnum. Lögmál Huygens og setning Leifs Ásgeirssonar. Tvístur (dispersion. Fasahraði og grúpuhraði. Jöfnur Kramers og Kronigs. Aðferð hins stöðuga fasa. Bylgjur á yfirborði vökva.

Markmið: Að kynna fyrir nemendum Fourier-greiningu og hlutafleiðujöfnur og hagnýtingu á þeim.

Lýsing: Fourier-raðir og þverstöðluð fallakerfi, jaðargildisverkefni fyrir venjulega afleiðuvirkja, eigingildisverkefni fyrir Sturm-Liouville-virkja, Fourier-ummyndun, bylgjujafnan, varmaleiðnijafnan og Laplace-jafnan leystar á ýmsum svæðum í einni, tveimur og þremur víddum með aðferðum úr fyrri hluta námskeiðsins, aðskilnaður breytistærða, grunnlausn, Green-föll, speglunaraðferðin.

Líkindi á grundvelli mál- og tegurfræði.

Viðfangsefni: Líkindi, útvíkkunarsetningar, óhæði, væntigildi. Borel-Cantelli-setningin og 0-1 lögmál Kolmogorovs.  Ójöfnur og hin veiku og sterku lögmál mikils fjölda. Samleitni í hverjum punkti, í líkindum, með líkunum einn, í dreifingu og í heildarviki. Tengiaðferðir. Höfuðmarkgildissetningin. Skilyrt líkindi og væntigildi.

Almenn grannfræði: Grannrúm og samfelldar varpanir. Hlutrúm, faldrúm og deildarúm. Samhangandi rúm og þjöppuð rúm. Aðskilnaðarfrumsendur, hjálparsetning Urysohns og firðanleikasetning, algerlega regluleg rúm og þjappanir. 

Aðferðir við hönnun og greiningu á tímaflækju reiknirita. Kynning og greining á reikniritum fyrir röðun, leit, netafræði og fylkjareikning. Torleysanleg vandamál, nálgunaraðferðir og slembin reiknirit.

Ath.: Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort TÖL101G Tölvunarfræði 1 eða TÖL105G Tölvunarfræði 1a.

Java forritunarmálið er notað til að kynna grunnhugtök í tölvuforritun: Tjáning og fullyrðingar, texta- og tölulegar gagnategundir, aðstæður og lykkjur, fylki, aðferðir, flokkar og hluti, inntak og úttak. Forritun og kembiforrit eru stunduð í spurningakeppnum og verkefnum alla önnina.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort TÖL101G Tölvunarfræði 1 eða TÖL105G Tölvunarfræði 1a.

Forritun í Python (sniðið að verkfræðilegum og raunvísindalegum útreikningum): Helstu skipanir og setningar (útreikningur, stýri-setningar, innlestur og útskrift), skilgreining og inning falla, gagnatög (tölur, fylki, strengir, rökgildi, færslur), aðgerðir og innbyggð föll, vigur- og fylkjareikningur, skráavinnsla, tölfræðileg úrvinnsla, myndvinnsla. Hlutbundin forritun: klasar, hlutir, smiðir og aðferðir. Hugtök tengd hönnun og smíði tölvukerfa: Forritunarumhverfi, vinnubrögð við forritun, gerð falla- og undirforritasafna og tilheyrandi skjölun, villuleit og prófun forrita.

Fjallað verður um tungumál stærðfræðinnar og frumatriði rökfræði og mengjafræði. Umfjöllun um rökfræði og mengjafræði er barnsleg (naive) en nógu nákvæm til að vera grundvöllur undir almenna notkun rökfræði og stærðfræði í stærðfræðinámi. Áhersla er á grunnhugtök eins og magnara, leiðingar, mengi, varpanir, eintæk og átæk. Þjálfun í að setja fram einfaldar sannanir.
Námskeiðið er kennt einu sinni í viku, 3 kennslustundir í senn. Skriflegt lokapróf verður í 12. kennsluviku. Nemendur vinna verkefni á misserinu sem gilda 30% af lokaeinkunn.

Þetta er grunnnámskeið um stærðfræðigreiningu í einni breytistærð. Æskilegur undirbúningur er að nemendur hafi lokið námskeiðum á framhaldsskólastigi sem fjalla um algebru, rúmfræði, hornaföll, diffrun og heildun. Námskeiðið leggur grunn að skilningi á greinum á borð við náttúrufræði, verkfræði, hagfræði og tölvunarfræði. Umfjöllunarefni námskeiðsins eru meðal annars:

• Rauntölur.
• Markgildi og samfelld föll.
• Deildanleg föll, reglur um afleiður, hærri afleiður, hagnýtingar deildareiknings (útgildisverkefni, línuleg nálgun).
• Torræð föll.
• Meðalgildissetning, setningar l'Hôpitals og Taylors.
• Heildun, ákveðin heildi og reiknireglur fyrir þau, stofnföll, óeiginleg heildi.
• Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar.
• Hagnýtingar heildareiknings: Bogalengd, flatarmál, rúmmál, þungamiðjur.
• Venjulegar afleiðujöfnur: fyrsta stigs línulegar diffurjöfnur, annars stigs línulegar diffurjöfnur með fastastuðlum.
• Runur og raðir, samleitnipróf.
• Veldaraðir, Taylor-raðir.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort REI201G  Stærðfræði og reiknifræði eða STÆ107G Línuleg algebra.

Fjallað er um undirstöðuatriði línulegar algebru yfir rauntölurnar.

Viðfangsefni: Línuleg jöfnuhneppi,fylkjareikningur, Gauss-Jordan aðferð.  Vigurrúm og hlutrúm þeirra.  Línulega óháð hlutmengi, grunnar og vídd.  Línulegar varpanir, myndrúm og kjarni.  Depilfargfeldið, lengd og horn.  Rúmmál í margvíðu hnitarúmi og krossfeldi í þrívíðu.  Flatneskjur, stikaframsetning og fólgin framsetning.  Hornrétt ofanvörp og einingaréttir grunnar.  Aðferð Grams og Schmidts.  Ákveður og andhverfur fylkja.  Eigingildi, eiginvigrar og hornalínugerningur.

Yrðingar, umsagnir og rökleiðingar. Mengjareikningur og Boolealgebrur. Þrepun og endurkvæmni. Grunnaðferðir við greiningu reiknirita og talningu. Einföld reiknirit í talnafræði. Vensl, eiginleikar þeirra og framsetning. Tré og net og einföld reiknirit tengd þeim. 

Í námskeiðinu er nemendum kynnt hvernig gera á skipulega mynd af ákvörðunar- og bestunarverkefnum í aðgerðagreiningu.
Að námskeiði loknu eiga nemendur að hafa færni í að setja upp, greina og leysa stærðfræðileg líkön sem standa fyrir raunhæfum verkefnum og hvernig meta eigi lausn þeirra á gagnrýninn hátt. Tekin eru fyrir línuleg bestun og Simplex aðferðin, auk skyld fræðileg efni.
Námskeiðið kynnir auk þess stærðfræðileg líkön fyrir einstök verkefni; flutningsverkefni, úthlutunarverkefni, netverkefni og heiltölubestun. Nemendur kynnast einnig sérhæfðu forritunarmáli við líkangerð fyrir línulega bestun.

Í námskeiðinu verður farið í valin viðfangsefni úr algebru, skólaalgebru og sögu algebrunnar. Fjallað verður um algebrukennslu á mismunandi skólastigum og þróun algebruhugsunar hjá nemendum á ýmsum aldursskeiðum.  

Hluti námskeiðsins er vettvangsnám og undirbúa nemar kennslu þar sem þeir kynna sér og kenna m.a. algebru á vettvangi. Að vettvangsnámi loknu ígrunda þeir kennsluna og vinna úr henni.

Í þessu námskeiði er fléttað saman stærðfræði og kennslufræði stærðfræðinnar. Nemendur kynnast líkindafræði og tölfræði, búa til stærðfræðilíkön og læra að nálgast stærðfræðikennslu út frá líkanasmíð. Meðal þess sem fjallað er um í námskeiðinu eru um umraðanir, samantektir, líkindareikningur sem byggir á talningu atburða, tvíkostadreifing og líkindadreifingar almennt. Fengist er við það hvernig ályktanir eru dregnar um líkindi út frá gögnum og hvernig tölvuhermanir geta nýst í þeim tilgangi. Kynntar eru mismunandi gerðir stærðfræðilíkana, svo sem líkön um línulegt samband, veldisvísisvöxt, öfugt hlutfall, veldisfall, línulega bestun með tveimur breytistærðum og netafræðileg líkön.

Fjallað verður um kennslufræði líkinda- og tölfræði og stærðfræðikennsla almennt skoðuð og greind út frá sjónarhorni líkanagerðar. Nemar fást við að velja og aðlaga verkefni fyrir kennslu líkinda- og tölfræði og að skipuleggja kennsluferli. Lögð er áhersla á stærðfræðikennslu sem snertir á mikilvægum álitamálum í samtímanum, svo sem loftslagsbreytingum og heimsfaröldrum.

Grundvallarhugtök í líkindafræði og tölfræði, stærðfræðileg undirstaða þeirra og beiting með tölfræðihugbúnaðinum R. 

• Líkindi, slembistærðir og væntigildi þeirra
• Mikilvægar líkindadreifingar
• Úrtök, lýsistærðir og úrtaksdreifing lýsistærða
• Metlar og öryggisbil
• Hugmyndafræði tilgátuprófa
• Mikilvæg tilgátupróf
• Línuleg aðhvarfsgreining

Í námskeiðinu er fengist við stærðfræðigreiningu falla af mörgum breytistærðum. Helstu hugtök sem koma vip sögu eru:

Opin mengi og lokuð. Varpanir, markgildi og samfelldni. Deildanlegar varpanir, hlutafleiður og keðjuregla. Jacobi-fylki. Stiglar og stefnuafleiður. Blandaðar hlutafleiður. Ferlar. Vigursvið og streymi. Sívalningshnit og kúluhnit. Taylor-margliður. Útgildi og flokkun stöðupunkta. Skilyrt útgildi. Fólgin föll og staðbundnar andhverfur. Ferilheildi, stofnföll. Heildun falla af tveimur breytistærðum. Óeiginleg heildi. Setning Greens. Einfaldlega samanhangandi svæði. Breytuskipti í tvöföldu heildi. Margföld heildi. Breytuskipti í margföldu heildi. Heildun á flötum. Flatarheildi vigursviðs. Setningar Stokes og Gauss.

Þetta er viðbót við námskeiðið "Líkindareikningur og tölfræði" STÆ203G. Farið er ítarlegar í frumatriði líkindafræðinnar með áherslu á skilgreiningar og sannanir. Námskeiðið er undirbúningur fyrir M-námskeiðin tvö í líkindafræði og M-námskeiðin tvö í tölfræði sem kennd eru á víxl annað hvert ár.

Viðfangsefni umfram þau sem koma við sögu í líkindahluta STÆ203G:

Skilgreining Kolmogorovs. Útleiðslur á reglum um samsetta atburði og skilyrt líkindi. Útleiðsla fyrir strjálar og samfelldar stærðir á reglum um væntigildi, dreifni, samdreifni, fylgni, og skilyrt væntigildi og dreifni. Útleiðslur á reglum um Bernoulli-, tvíkosta-, Poisson-, jafnar, veldis-, normlegar og gamma-stærðir. Útleiðsla á halasummureglu væntigildis og útleiðsla á væntigildi strjálu veldisstærðarinnar. Útleiðsla á reglunni um minnisleysi og veldisstærðir. Útleiðsla á dreifingum summu óháðra stærða s.s. tvíkosta-, Poisson-, normlegra og gamma-stærða. Líkinda- og vægisframleiðsluföll.

Net, netamótanir og netaeinsmótanir. Hlutnet, spannandi hlutnet. Vegir, tengd net. Örvanet. Tvíhlutanet. Euler-net og Hamilton-net; setningar Chvátals, Pósa, Ores og Diracs. Keppnisnet. Tré, spannandi tré, trjáfylkjasetningin, Cayley-setningin. Vegin net, reiknirit Kruskals og Dijkstra. Flæðinet, setning um hámarksflæði og lágmarkssnið, Ford-Fulkerson-reikniritið, Menger-setningin. Spyrðingar, Berge-setningin, giftingarsetning Halls, König-Egerváry-setningin, Kuhn-Munkres-reikniritið. Óaðskiljanleg net, tvítengd net. Lagnet, Euler-formúla, Kuratowski-setningin, nykurnet. Greypingar neta í fleti, Ringel-Youngs-Mayer-setningin. Litanir, litunarsetning Heawoods, Brooks-setningin, litamargliða; leggjalitanir, Vizing-setningin.

Námskeiðið er ætlað nemendum á öðru og þriðja ári. Markmiðið er að kynna nemendum ýmis fléttufræðileg kerfi, aðferðir við talningu og gagnlega eiginleika. Hagnýtingar á þessum kerfum og aðferðum.

Tilgangur þessa námskeiðs er að nemendur öðlist heildarsýn á þroska barna frá fæðingu og fram á unglingsár.

Inntak/viðfangsefni:
Fjallað verður um þær breytingar sem verða á þroska barna á mismunandi sviðum og aldursskeiðum og helstu kenningar sem notaðar hafa verið til að varpa ljósi á þessar breytingar. Fjallað verður um vitsmunaþroska, tilfinningaþroska og þróun tilfinningalegra tengsla, félagsþroska, þróun sjálfsmyndar og siðferðisvitundar. Námskenningum og vistfræðilegum kenningum (ecological approach) verður einnig gerð skil. Rætt verður um orsakir og eðli einstaklingsmunar, samfellu í þroska og sveigjanleika þroskaferlisins. Tengsl náms og þroska, áhugahvöt og áhrif uppeldis, menningar og félagslegra aðstæðna á þroska barna verða einnig til umfjöllunar. Áhersla verður lögð á gildi þroskasálfræðinnar í uppeldis- og skólastarfi.

Vinnulag:
Kennsla fer fram í fyrirlestrum og umræðu/verkefnatímum. Í umræðu/verkefnatímum fá nemendur þjálfun í að ræða námsefnið á gagnrýninn hátt.

Viðfangsefni eru úr sígildri rúmfræði. Undirstaða og uppbygging rúmfræði í sléttu. Hugtök, frumforsendur, skilgreiningar og setningar um samsíða línur, marghyrninga og hringi. Áhersla er lögð á röksemdafærslu og sannanir á setningum. Stuttlega er fjallað um þrívíðar rúmmyndir. Helstu reglur um flatarmál, ummál og rúmmál.

Í námskeiðinu er fjallað undistöðuatriði um tvö svið stærðfræðigreiningar, tvinnfallagreiningu og afleiðujöfnur, með áherslu á hagnýtingu og útreikninga á lausnum.

Viðfangsefni: Tvinntölur og varpanir á svæðum í tvinntalnasléttunni. Föll af einni tvinnbreytistærð. Fáguð föll. Veldisvísisfallið, lograr, rætur og horn. Cauchy-setningin og Cauchy-formúlan. Samleitni í jöfnum mæli. Veldaraðir. Laurent-raðir. Leifareikningur. Hagnýtingar á tvinnfallagreiningu í straumfræði. Venjulegar afleiðujöfnur og afleiðujöfnuhneppi. Línulegar afleiðujöfnur  með fastastuðlum. Ýmsar aðferðir til að reikna út sérlausnir. Green-föll fyrir upphafsgildisverkefni. Línuleg afleiðujöfnuhneppi. Veldisvísisfylkið. Veldaraðalausnir og aðferð Frobeniusar. Laplace-ummyndun og notkun hennar við lausn á afleiðujöfnum. Leifaformúlur fyrir Fourier-myndir og andhverfar Laplace-myndir.

Í námskeiðinu er fjallað um einfalda og fjölvíða aðhvarfsgreiningu ásamt fervikagreiningu (ANOVA) og samvikagreiningu (ANCOVA). Að auki er farið í tvíkosta aðhvarfsgreiningu (binomial regression) og rætt um hugtök því tengt, svo sem gagnlíkindi (odds) og gagnlíkindahlutfall (odds ratio).
Námskeiðið er framhald af dæmigerðu grunnnámskeiði í tölfræði sem kennd eru á hinum ýmsu sviðum skólans. Farið verður í aðferðir til að meta stika í línulegum líkönum, hvernig smíða má öryggisbil og kanna tilgátur fyrir stikana, hverjar forsendur líkananna eru og hvað hægt sé að gera sé þeim ekki fullnægt. Verkefni eru unnin í tölfræðihugbúnaðinum R.

Mengjafræði: Vensl; jafngildisvensl og raðvensl. Teljanleg mengi og óteljanleg. Samstétta mengi. Uppbygging talnakerfanna. Frumatriði um firðrúm: Opin mengi og lokuð, samleitnar runur og Cauchy-runur, þéttipunktar. Samfelldni og samfelldni í jöfnum mæli. Samleitni og samleitni í jöfnum mæli. Fallarunur og fallaraðir. Þjöppuð firðrúm. Samhangandi mengi. Fullkomin firðrúm og fullkomnun firðrúms. Fastapunktssetning Banachs; tilvistarsetning um afleiðujöfnu fyrstu raðar. Kennslubækur ákveðnar síðar.

Einingar til BS-prófs gilda aðeins fyrir annaðhvort REI201G Stærðfræði og reiknifræði eða STÆ405G Töluleg greining.

Undirstöðuhugtök um nálgun og skekkjumat. Lausn línulegra og ólínulegra jöfnuhneppa. PLU-þáttun. Margliðubrúun, splæsibrúun og aðhvarfsgreining. Töluleg nálgun afleiða og heilda. Útgiskun. Töluleg lausn upphafshafsgildisverkefna fyrir venjuleg afleiðujöfnuhneppi. Fjölskrefaaðferðir. Töluleg lausn jaðargildisverkefna fyrir venjulegar afleiðujöfnur.

Gefin er einkunn fyrir skriflegar úrlausnir á forritunarverkefnum og vegur hún 30% af heildareinkunn. Stúdent verður að hafa lágmarkseinkunn 5 bæði fyrir verkefni og lokapróf.

Námskeiðið er að öllu jöfnu kennt annað hvert ár.

Á námskeiðinu læra nemar að skipuleggja stærðfræðikennslu í framhaldsskóla þannig að hún sé fjölbreytt og taki mið af þörfum allra nemenda. Áhersla verður lögð á að nemendur kynnist fjölbreyttu námsumhverfi og kennsluháttum sem byggja á rannsóknum á stærðfræðinámi og -kennslu. Í námskeiðinu er fjallað um markmið stærðfræðináms og hvernig þau birtast í námskrám og stefnuritum bæði hér á landi og í nágrannalöndum. Nemendur lesa um og fá tækifæri til að reyna í verki fjölbreyttar leiðir við að meta og greina stærðfræðilega hæfni.
Vinnulag í námskeiðinu felst í fyrirlestrum, verkefnavinnu kynningum, vettvangstengdum viðfangsefnum og gagnrýnni umræðu um viðfangsefni. Áhersla verður lögð á að nemar ræði um áskoranir sem upp geta komið við kennslu og leiti sjálfir leiða við lausn á ýmsum vandamálum sem lúta að stærðfræðinámi og -kennslu.

Grúpur, dæmi og helstu undirstöðuatriði. Samhverfugrúpur. Mótanir og normlegar hlutgrúpur. Baugar, dæmi og helstu undirstöðuatriði. Heilbaugar. Baugamótanir og íðul. Margliðubaugar og þáttun margliða. Valin viðfangsefni.

Markmið námskeiðsins er að gera nemendum kleift að beita forritun og reiknihugsun til að skapa tölvugrafík og leysa verkefni af ýmsu tagi, og jafnframt veita undirbúning til þess að kenna nemendum í grunn- og framhaldsskólum hið sama. Ekki er gert ráð fyrir að nemendur hafi fyrirfram þekkingu eða reynslu af forritun. 

Stærðfræðileg viðfangsefni námskeiðsins eru annars vegar úr hnitarúmfræði og hins vegar verður fjallað um grundvallaratriði reiknihugsunar: að þætta viðfangsefni í smærri verkefni; að finna mynstur; að draga út eiginleika (abstraction); að búa til reiknirit. Nemar læra um  notkun breytistærða, falla, lykkja og rökskilyrða í forritun. Nemar læra að nýta sér reiknihugsun til þess að smíða einföld grafísk líkön í tölvu, svo sem tölvuleiki eða listaverk, og að nota forritun til að leysa stærðfræðiverkefni.  

Á námskeiðinu læra nemar einnig að skipuleggja kennslu í grunn- og framhaldsskóla sem miðar að því að þroska reiknihugsun nemenda og getu til skapandi forritunar, auk nýtingar forritunar til að kanna stærðfræðileg viðfangsefni. Stærðfræðiforritið GeoGebra er sett í samhengi við reiknihugsun og möguleikar þess í stærðfræðikennslu kannaðir. Hugað er að stöðu forritunar og reiknihugsunar í samfélaginu og innan menntakerfisins, og tengslum við aðrar námsgreinar. 

Vinnulag í námskeiðinu felst fyrst og fremst í því að leysa verkefni, lestri og þátttöku í gagnrýnni umræðu.

Námskeiðið er ætlað nemendum sem lokið hafa að minnsta kosti 120 ECTS einingum. Nemendur sem ekki hafa lokið 120 ECTS einingum og hafa áhuga á að taka námskeiðið þurfa að fá samþykki umsjónarmanns fyrir þátttöku í námskeiðinu.

Hver nemandi velur og kynnir sér tiltekið afmarkað viðfangsefni stærðfræðinnar eða tölfræðinnar og fær leiðbeinanda tengdan því. Viðfangsefni eru ólík milli ára. Listi yfir viðfangsefni er gefinn út í upphafi eða aðdraganda námskeiðsins og einnig geta nemendur stungið upp á viðfangsefnum (að því gefnu að leiðbeinandi finnist). Nemendur skrifa ritgerð um sitt viðfangsefni og undirbúa og halda fyrirlestur um það á nemendaráðstefnu. Meðan á námskeiðinu stendur veita nemendur hvert öðru uppbyggilega endurgjöf bæði hvað varðar ritgerðarskrif og undirbúning á fyrirlestri. Auk þess að kynna eigin verkefni á nemendaráðstefnunni taka nemendur virkan þátt, hlusta á samnemendur sína og spyrja spurninga.

Fjallað er um hugtök, aðferðir og reiknirit á sviði gervigreindar, með áherslu á studdan og óstuddan lærdóm. Forvinnsla og myndræn framsetning gagna. Mat á gæðum líkana og val á líkönum. Línuleg aðhvarfsgreining, næstu nágrannar, stoðvigravélar, tauganet, ákvarðanatré og safnaðferðir. Djúpur lærdómur. Þyrpingagreining og k-means aðferðin. Nemendur útfæra einföld reiknirit í Python og læra á sérhæfða forritspakka. Námskeiðinu lýkur með hagnýtu verkefni.

Kennileg línuleg tölfræðilíkön er 6 ECTS-eininga framhaldsnámskeið um stærðfræðilega undirstöðu línulegra líkana, byggt á einni rúmfræðilegri meginhugmynd: mat er hornrétt ofanvarp og prófanir eru samanburður ofanvarpa á hreiðruð hlutrúm. Fjallað er um ofanvarpsvirkja, fjölvíðu normaldreifinguna og ferningsform, metanleika, aðferð minnstu kvaðrata, Gauss-Markov-setninguna, sennileikamat og alhæfða aðferð minnstu kvaðrata, prófanir og öryggissvæði, og beitingu á fervikagreiningu, aðhvarfsgreiningu og spá. Námskeiðið þróar kenninguna að baki aðferðum sem nemendur kunna úr STÆ312M.

Kennslubók er Christensen, Plane Answers to Complex Questions (4. útgáfa).

Námsmat: lokapróf (50%), miðannarpróf (25%) og fimm kynningar á heimadæmalausnum (25%).

Forkröfur: STÆ203, STÆ107, STÆ312M.

Sennileiki, tæmandi stærð, nægjanleikareglan, þvælistiki, skilyrðingarreglan, óbreytileikareglan, sennileikafræði. Tilgátupróf, einfaldar og samsettar tilgátur, Neyman-Pearson-setningin, styrkleiki, UMP-próf, óbreytileg próf. Umröðunarpróf, sætispróf. Bilmat, öryggisbil, öryggisstig, öryggissvæði. Punktmat, bjagi, meðalferskekkja. Skilaverkefni gilda 30% af lokaeinkunn.

Röksemdafærslur, sannanir. Samtengingar, fullyrðingareikningur, sannföll og sísönnur. Formleg mál, frumsendur, rökreglur, sísönnusetningin. Magnarar. Mál og kenningar fyrstu stéttar. Mynstur og líkön. Fullkomleikasetningin. Setning Löwenheims og Skolems. Reiknanleiki, rakin föll. Setning Gödels.

Markmið: Að kenna nemendum að beita ýmsum aðferðum úr Bayesískri tölfræði fyrir greiningu gagna. Námsefni: Fræðileg undirstaða Bayesískrar ályktunartölfræði, fyrirframdreifingar, gagnadreifingar og eftirádreifingar. Bayesísk ályktunartölfræði fyrir stika í einvíðum og margvíðum líkindadreifingum: tvíkosta-; normal-; Possion; veldis-; margvíð normal-; fjölkostadreifing.  Mat á gæðum líkans og samanburður á líkönum: Bayesísk p-gildi; deviance information criterion (DIC). Bayesísk hermun: Markov keðju Monte Carlo (MCMC) aðferðir; Gibbs sampler; Metropolis-Hastings skref; mat á samleitni. Línuleg líkön: normal línuleg líkön; stigskipt normal línuleg líkön; almenn línuleg líkön. Áhersla á greiningu gagna með forritum eins og Matlab og R.

Endanlegar stöðuvélar, regluleg mál og málskipan, staflavélar, samhengisóháð mál og málskipan, Turingvélar, almenn mál og málskipan og helstu eiginleikar þeirra.

Ávarðanleg og listanleg mál, yfirfærsla milli mála, tengsl við ákvörðnarverkefni og sönnun á óleysanleika slíkra verkefna. Flækjustigsflokkarnir P og NP og NP-fullkomleiki. Dæmi um ýmis líkön af reiknanleika.

Námskeiðið mun nota forritunarmálið Java. Fjallað er um gagnaskipan, reiknirit og huglæg gagnatög. Meðal gagnaskipana, sem farið er yfir, eru listar, hlaðar, biðraðir, forgangsbiðraðir, tré, tvítré, tvíleitartré og hrúgur auk viðkomandi reiknirita. Kynnt verða ýmis leitar- og röðunarreiknirit. Reiknirit eru greind, hvað þau taka langan tíma í vinnslu og hve mikið minnisrými. Forritunarverkefni, sem nota áðurnefnda gagnaskipan og reiknirit, eru leyst í Java. Mörg lítil forritunarverkefni verða í námskeiðinu.

Inngangsatriði slembiferla með megináherslu á Markovkeðjur.

Viðfangsefni: Hittitími, stöðuþáttun, óþáttanleiki, lota, endurkvæmni (jákvæð og núll-), hverfulleiki, tenging, endurnýjun, jafnvægi, tíma-viðsnúningur, tenging úr fortíðinni, greinaferli, biðraðir, martingalar, Brownhreyfing.

Markmið: Að kynna stærðfræðilegar aðferðir sem nytsamar eru í eðlisfræði og veita þjálfun í beitingu þeirra. Námsefni: Hljóðbylgjur í vökvum og lofttegundum. Spennutensor og þenslutensor, almennar hreyfingarjöfnur fyrir samfellt efni. Jarðskjálftabylgjur. Jöfnur Maxwells og rafsegulbylgjur. Flatar bylgjur, skautun, endurkast og brot. Dreififöll og Fourier-greining. Grunnlausnir og Green-föll hlutafleiðujafna. Bylgjur í einsleitum efnum. Lögmál Huygens og setning Leifs Ásgeirssonar. Tvístur (dispersion. Fasahraði og grúpuhraði. Jöfnur Kramers og Kronigs. Aðferð hins stöðuga fasa. Bylgjur á yfirborði vökva.

Markmið: Að kynna fyrir nemendum Fourier-greiningu og hlutafleiðujöfnur og hagnýtingu á þeim.

Lýsing: Fourier-raðir og þverstöðluð fallakerfi, jaðargildisverkefni fyrir venjulega afleiðuvirkja, eigingildisverkefni fyrir Sturm-Liouville-virkja, Fourier-ummyndun, bylgjujafnan, varmaleiðnijafnan og Laplace-jafnan leystar á ýmsum svæðum í einni, tveimur og þremur víddum með aðferðum úr fyrri hluta námskeiðsins, aðskilnaður breytistærða, grunnlausn, Green-föll, speglunaraðferðin.

Líkindi á grundvelli mál- og tegurfræði.

Viðfangsefni: Líkindi, útvíkkunarsetningar, óhæði, væntigildi. Borel-Cantelli-setningin og 0-1 lögmál Kolmogorovs.  Ójöfnur og hin veiku og sterku lögmál mikils fjölda. Samleitni í hverjum punkti, í líkindum, með líkunum einn, í dreifingu og í heildarviki. Tengiaðferðir. Höfuðmarkgildissetningin. Skilyrt líkindi og væntigildi.

Almenn grannfræði: Grannrúm og samfelldar varpanir. Hlutrúm, faldrúm og deildarúm. Samhangandi rúm og þjöppuð rúm. Aðskilnaðarfrumsendur, hjálparsetning Urysohns og firðanleikasetning, algerlega regluleg rúm og þjappanir. 

Aðferðir við hönnun og greiningu á tímaflækju reiknirita. Kynning og greining á reikniritum fyrir röðun, leit, netafræði og fylkjareikning. Torleysanleg vandamál, nálgunaraðferðir og slembin reiknirit.